– Приведенный пример может быть фактически описан моделью
, где
– количество взрослых. Объясните, почему?
Конечно, если поймем, что
описывает данную популяцию, то сразу узнаем, что популяция будет расти экспоненциально, увеличиваясь в 1.1388 раза на каждые три временных интервала.
Пример. Повторно рассмотрим приведенный выше пример, но предположим, что вместо того, чтобы умереть (уйти из профессии), 65% взрослых выживают на протяжении дополнительного временного шага (работают вплоть до пенсии и далее). Тогда модель становится немного сложнее:
,
,
.
Опять
же, правомерно называть эту модель линейной, так как все члены имеют первую степень. Однако из-за произведенной модификации уже не ясно, как выразить рост популяции одним уравнением. Очевидно, изменение модели должно привести к еще более быстрому росту популяции. Взрослые особи, которые живут дольше, могут производить больше яиц, производя еще больше взрослых особей, которые выживают дольше, и так далее. Однако новые темпы роста отнюдь не очевидны.
Пример. Предположим, нас интересует лес, состоящий из двух видов деревьев, где
и
обозначают количество каждого вида в лесу в год
(дубы и берёзки, аналогично физики и математики, информатики и технологии). Когда дерево умирает, на его месте растет новое дерево, но новое дерево может быть любого вида. Чтобы быть конкретным, предположим, что деревья вида
относительно долго живут, и только 1% умирает в данный год
. С другой стороны, деревьев вида
погибает 5%. Поскольку они быстро растут, деревья
, однако, с большей вероятностью преуспеют в завоевании свободного пространство, оставленного мертвым деревом; 75% всех свободных мест достаются деревьям вида
, и только 25% достаются деревьям вида
. Все это можно выразить с помощью равенств
,
.
Вопросы для самопроверки:
– Объясните смысл каждой операции в этих уравнениях.
После упрощения модель представляет собой систему из двух линейных разностных уравнений
,
.
В отличие от предыдущих двух примеров, нет очевидного предположения о том, как будут вести себя популяции, смоделированные этими уравнениями.
Чтобы прийти к пониманию, предположим, что популяция начинается с
и
. Эти начальные значения численности популяции могли бы описывать лес, в котором большинство деревьев
были выборочно вырублены ранее. Что произойдет с популяцией с течением времени? Компьютерный эксперимент показывает результаты в таблице 2.1.
Таблица 2.1. моделирование леса
Год
0 10 990
1 22.30 977.70
2 34.35 965.65
3 46.17 953.83
4 57.74 942.26
5 69.09 930.91
… … …
10 122.50 877.50
… … …
50 401.04 598.96
… … …
100 543.44 456.56
… … …
500 624.97 375.03
… … …
1000 625 375
… … …
В этой таблице показано довольно интересное поведение популяции; похоже, что численность приближается к равновесию, с 625 деревьями вида
и 375 вида
. Фактически, как можно видеть на рисунке 2.1, если бы начали с любого другого неотрицательного выбора
и
, численный эксперимент показал бы аналогичное движение к точно такому же соотношению численности деревьев
к численности деревьев
. То, что лес приблизится к стабильному распределению двух видов деревьев в отношении
, не очевидно из уравнений. Еще менее понятно, почему стабильное распределение находится именно в таком соотношении. Чтобы начать понимать поведение моделей, подобных приведенной выше, нужно использовать несколько вспомогательных математических инструментов.
Рисунок 2.1. Два имитационных моделирования численности деревьев в лесу.
Очень полезными в данном случае оказываются векторы и матрицы. Наиболее удобным математическим
языком описания моделей, приведенного выше типа, является язык линейной алгебры. Он включает в себя несколько типов математических объектов, которые могут оказаться полезны.
Определение. Вектором арифметического
– мерного пространства
называется упорядоченный набор
вещественных чисел, обычно записываемый в виде строки, либо столбца.
Пример.
и
являются векторами в
, а
является вектором в
.
Арифметические векторы обычно обозначаются прописными буквами с черточкой над ними. Например, можно использовать запись
для обозначения распределения числа деревьев в год
из примера выше, где
. Как видите, много места на странице тратится впустую, когда векторы написаны в столбцах. Поэтому можно писать
, что в данном случае несёт ту же информацию.
Определение. Матрица
представляет собой прямоугольную таблицу вещественных чисел с
строками и
столбцами.
Пример.
это матрица 2 x 2, а
– матрица 3 x 4.
Если матрица имеет равное количество строк и столбцы, то она называется квадратной. Обратите внимание, что на самом деле нет никакой существенной разницы между вектором пространства
и
– матрицей, они даже записаны идентичным образом.
Матрицы (множественное число слова «матрица») обычно обозначаются заглавными буквами, такими как
,
или
. Например, можно сказать,
– это матрица перехода, для модели леса выше, поскольку её элементами являются числа, используемые для прогнозирования будущих популяций деревьев. И переписать модель леса в матричной форме записи так
или просто
. Немного опережая события модель была выражена в простой форме
, которая очень похожа на линейные модели, рассмотренные в предыдущей главе. Остаётся понять, что имеется в виду, когда записывают
, как матрицу, умноженную на вектор.
Определим
так, чтобы уравнения в матричной форме записи и в виде системы линейных уравнения означали одно и то же. Другими словами, если естественным образом можно называть матрицы равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы, то нужно получить
.
Это приводит к следующему определению матричного умножения:
Определение. Произведением 2x2-матрицы на вектор из
называется
.
Вместо того, чтобы пытаться запомнить эту формулу, лучше поняться суть процесс матричного умножения: для получения элемента в
– той строке
– того столбца результата, необходимо умножить
– тую строку первого множителя на
– тый столбец второго множителя. Для умножения
– той строки на
– тый столбец вычисляется сумма произведений их соответствующих компонент, как при вычислении скалярного произведения векторов.