Математические модели в естественнонаучном образовании

Если перемножаются матрицы большей размерности, чем 2 x 2, то действуют аналогичным способом. Заметим, что для нахождения произведения каждая строка матрицы первого множителя должна иметь столько компонент, сколько их в векторе столбце второго множителя. Это означает, если дан

– вектор из

 и пытаемся его умножить слева на матрицу, то матрица должна иметь

 записей в каждой строке и, следовательно, иметь

 столбцов. Поскольку пока имеем дело в основном с квадратными матрицами, то будем использовать

 матрицы для умножения на вектор из

.

Пример.

.

Подумайте еще раз о лесе с двумя видами деревьев. Предположим, что приведенное выше описание того, как изменяется состав леса, происходит только во влажный год, поэтому мы переименуем матрицу перехода

.

Если предположим, что в засушливые годы вид

 умирает с большей скоростью, то матрица перехода для таких лет может принять вид

.

Вопросы для самопроверки:

– Что изменилось в этой матрице, почему оказалось так, что деревья

 имеют более высокую смертность в засушливые годы, чем во влажные годы? Фактически, всё, что изменили, это вероятность гибели дерева

 в сухой год, теперь она составляет 0,39. Остальные параметры остались такими же, как в исходной модели.

– Убедитесь, что если вероятность гибели дерева

 заменяется на 0,39, то получается приведенная выше матрица

.

Предположим, что начальные популяции задаются вектором значений

, как и прежде. Если первый год сухой, то

.

Теперь предположим, что за сухом годом последует влажный год. Как это отразится на популяции? Так как

, а

, то

. Последнее значение легко вычислить путем матричного умножения:

.

Более интересный вопрос заключается в том, можно ли найти одну матрицу, умножение на которую моделирует совокупное влияние на популяцию засушливого года, за которым следовал дождливый год? Хотя и очевидно равенство

, но существует ли матрица

 такая, что

?

Казалось бы, что может быть проще, для нахождения

 достаточно переставить скобки в уравнении

, записав его в виде

, тогда искомая матрица

. Но для этого предстоит научиться перемножать две матрицы

 и

 так, чтобы всегда новая матрица

 была определена, причем матричное умножение должно обладать свойством ассоциативности. Как же выглядит эта матрица

? Вместо того, чтобы экспериментировать на конкретных числах, введём обозначения

,

,

. Таким образом

,

,

,

. Подставив

 и

 в

 и

, получим

,

, или после перестановки,

,

. Что в матричной форме записи примет вид

. Это указывает на то, как нужно определить произведение двух матриц:

Обратите внимание, что первый столбец произведения получается в результате умножения строк матрицы

 на первый столбец матрицы

, воспринимаемый как вектор-столбец, а второй столбец произведения получается умножением

 на второй столбец из

.

Определение. Произведением двух матриц называется новая матрица, столбцы которой находят путем умножения строк матрицы первого множителя на каждый из столбцов матрицы второго множителя.

Это означает, чтобы перемножить две матрицы, когда правая имеет по

 элементов в каждом столбце, левая должна иметь по

 элементов в каждой строке.

Пример.

.

Интересно то, что если умножать две вышеуказанные матрицы в обратном порядке, правую на левую, вместо левой на правую, то получится другой результат.

Пример.

.

Для большинства матриц

 и

 получается

. То есть матричное умножение не является коммутативным. Порядок множителей имеет значение.

Вопросы для самопроверки:

– Ожидается ли с биологической точки зрения, что влияние на лес сухого года, за которым следует влажный год, будет точно таким же, как у влажного года, после которым будет сухой год? Какое это имеет отношение к замечанию о некоммутативности матричного умножения?

Обратите внимание, что, хотя произведение 2х2 матрицы на 2х1 вектор столбец справа имеет смысл, когда вектор размещен слева произведение не имеет смысла. Потому что в каждой строке есть только один элемент имеет, но в каждом столбце по два элемента, определение матричного умножения окажется неприменимым. Поскольку векторы пишем в виде столбцов, это означает, что всегда нужно матрицы помещать слева от векторов в таких произведениях.

Тот факт, что для матриц умножение не является коммутативным, то есть порядок множителей имеет значение, является существенным отличием матричной алгебры от привычной арифметики. Важно при использовании матриц всегда помнить об этом.

К счастью, хотя и не будем приводить тому строгое доказательство, матричное умножение является ассоциативным: при умножении любых трех матриц

. Следовательно, можно перегруппировать множители на своё усмотрение, результат умножения не изменится. Дело в том, что произведение двух матриц было определено так, чтобы

 имело место в частном случае, когда

 является вектором. Требуется лишь повторить выкладки и согласно определения убедиться в истинности равенства для любой матрицы

.

Конечно, требуется некоторая практика, чтобы освоиться с матричной алгеброй, для этого есть упражнения. Большинство используют компьютер для выполнения матричных вычислений, особенно когда размеры матриц велики. Как только понимаете, как выполнять умножение, процесс становится утомительным для ручного счета. Тем не менее, нужно уметь делать простые ручные вычисления, чтобы понимать, как эффективно использовать компьютер.

Есть еще несколько понятий и правил, которые используются при выполнении операций над векторами и матрицами. Поскольку у нас есть термины (векторы и матрицы) для массивов чисел, удобно иметь особый термин и для отдельных чисел.

Определение. Скаляр – это одно число.

Определение. Чтобы умножить вектор или матрицу на скаляр, умножьте каждую их компоненту на этот скаляр.

Пример.

.

Определение. Чтобы сложить два вектора или две матрицы, складывайте соответствующие компоненты. Слагаемые должны быть одинакового размера.

Пример.

.

Определение. Вектор, все компоненты которого равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается как

.