Математические модели в естественнонаучном образовании

Векторы и матрицы также подчиняются дистрибутивным законам умножения относительно сложением, а именно:

,

.

Наконец, хотя матричное умножение некоммутативно, можно менять порядок множителей матрицы и скаляра, например,

.

Задачи для самостоятельного решения:

2.1.1. Вычислите без помощи компьютера

а.

б.

в.

г.

2.1.2. Объясните, почему произведение

 не определено.

2.1.3. Для

,

 и

 без компьютера найдите значения выражений ниже. Затем проверьте ответы с помощью MATLAB. Матрицы в MATLAB вводятся так:

 A=[-1,2;1,1]

а.

б.

в.

г.

д.

е. Докажите, что

, а

.

2.1.4. Выполните пункты (а-е) из предыдущего задания для

,

 и

. Cначала без компьютера, затем проверьте свои ответы с помощью MATLAB.

2.1.5. Для матрицы

 , вектора

и скаляра

 докажите, что

 путём вычисления каждой из стороны.

2.1.6. Для матрицы

, моделирующей долю трудоустроенных выпускников сдвоенных специальностей, вычислите

,

,

. Каков смысл этих операций? Что особенного в значении

? Используйте MATLAB для вычислений.

2.1.7. Для матрицы

 из предыдущей задачи, получите график с изображением количества выпускников каждой из своей сдвоенной, задерживающихся в системе образования на протяжении нескольких лет по окончании ВУЗа, предполагая

. Используя команды MATLAB:

P=[.18 .21; .17 .15]

x=[10; 12]

pops=[x]

x=P*x

for n=1:10

pops=[pops x]

x=P*x

end

plot(pops')

Повторите этот процесс несколько раз, используя различные начальные векторы

. Все ли первоначальные векторы в конечном итоге приводят к одному и тому же результату?

2.1.8. В первом примере данного раздела описывается классическая модель из жизни насекомых, системой уравнений

,

,

.

а. Запишите эту модель в матричной форме, как

, используя 3x3-матрицу

. Какой смысл имеет вектор

?

б. Вычислите

 и

 без помощи компьютера. Как смысл этих матриц?

в. Вычисление

 должно соответствовать уравнению

. Объясните эту связь.

2.1.9. Во втором примере данного раздела описывается модель системой уравнений

,

,

.

а. Выразите эту модель с помощью 3x 3-матрицы

.

б. Вычислите

 и

 без помощи компьютера.

в. Начиная со значений

, постройте график динамики численности популяции с помощью компьютера. В качестве отправной точки можно использовать команды из задачи 2.1.7, чтобы построить график средствами MATLAB.

2.1.10. В материалах данного раздела строится модель леса из двух типов деревьев, когда одни сменяются другими и обратно, в динамике и временной перспективе дается оценка соотношения ожидаемого числа деревьев разного типа. Отсюда вопрос: а в онкологии, определяемой по слюне или еще где-то, биохимики могут ли использовать подобное? Например, делается замер концентрации нескольких веществ по образцу слюны, потом впрыскивается какой-нибудь катализатор, делается повторный замер концентрации тех же веществ, смотрим как изменилось их соотношение, строим матрицу перехода от одного состояния к другому для здорового и для больного, тем самым как-бы оценивается быстрота и направление реакции, чего стало больше, чего меньше и насколько, а дальше по этой матрице моделируется развитие событий, для постановки экспресс диагнозов.

2.2. Матрицы перехода для структурированных моделей

Хотя линейные модели и имеют широкое применение, выходящее за рамки моделирования популяций, существует несколько важных приложения именно линейной алгебры для моделирования популяций. В этом случае матрицы перехода часто имеют довольно хорошую структуру, поскольку существуют естественные способы разбиения популяции на подгруппы по возрасту или стадии развития.

Проиллюстрируем сказанное на примере модели Лесли. Суть необходимости использования этой модели в том, что у некоторых видов темпы размножения очень индивидуальны. Например, рассмотрим две разные популяции людей с одинаковой общей численностью. Если бы в одной присутствовали в основном люди в возрасте старше 50 лет, а в другой в основном 20-летние, то ожидались бы совершенно разные скорости роста популяций. Очевидно, что возрастная структура населения имеет важное значение.

Люди развиваются достаточно долго до момента полового созревания, на всём протяжении этого времени размножение не происходит. После полового созревания различные социальные факторы препятствуют или поощряют деторождение в определенном возрасте. Наконец, менопауза ограничивает размножение пожилых женщин.

Чтобы смоделировать влияние возраста на скорость роста населения, можно начать моделирование популяции людей с создания пяти возрастных групп:

 – численность лиц в возрасте от 0 до 14 лет в момент времени

;

 – численность лиц в возрасте от 15 до 29 лет в момент времени

;

 – численность лиц в возрасте от 30 до 44 лет в момент времени

;

 – численность лиц в возрасте от 45 до 59 лет в момент времени

;

 – численность лиц в возрасте от 60 до 75 лет в момент времени

. Хотя предложенная формализация допускает нереалистичное предположение о том, что никто не выживает после 75 лет, но этот недостаток, конечно, может быть исправлен путем создания дополнительных возрастных групп. Используя временной шаг 15 лет, можно описать всю популяцию с помощью следующих пяти линейных уравнений:

,

,

,

,

.

 Здесь

 обозначает коэффициент рождаемости (за 15-летний период) для родителей в

– й возрастной категории, а

 обозначает выживаемость для тех, кто находится в

– й возрастной категории, переходящих в

– вую категорию. Поскольку одна пара родителей может оказаться в разных возрастных группах, нужно отнести половину их потомства к каждой группе при выборе значений

. В матричной записи модель упрощается до линейной

, где

 – вектор столбец размеров возрастных подгрупп в момент времени

 и

 – матрица перехода.

Можно ожидать, что

 будет меньше, чем

, потому что скорее всего меньше детей родят в возрасте от 0 до 15 лет, чем от 15 до 30 лет. Однако, в течение определенного периода времени подростки в возрасте от 0 до 15 лет фактически стареют на 15 лет; поэтому рождаемость у таких родителей, вероятно, не так мала, как можно было бы подумать. Также возможно, что некоторые из

 равны нулю; например, очень старые могут не воспроизводиться.