Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

• В 1895 году немецкий математик Ханс фон Мангольдт доказал основной результат работы Римана, в котором утверждается связь между (x)и дзета-функцией, и преобразовал его к более простому виду. Тогда стало ясно, что если бы была доказана некая теорема, намного более слабая, чем Гипотеза Римана, то применение ее к формуле фон Мангольдта дало бы доказательство ТРПЧ.

• В 1896 году два работавших назависимо математика — уже упомянутый Жак Адамар и бельгиец Шарль де ля Валле Пуссен — доказали этот более слабый результат и, следовательно, ТРПЧ.

Уже говорилось, что любой, кто бы ни сумел доказать ТРПЧ, тем самым снискал бы себе бессмертие. Это предсказание едва не сбылось: Шарль де ля Валле Пуссен умер за пять месяцев до своего 96-летия, а Жак Адамар — за два месяца до 98-летия. [79] Они не знали — по крайней мере, достаточно долго не знали, — что соревнуются друг с другом; и, поскольку оба они опубликовали свои результаты в один и тот же год, со стороны математиков было бы нечестно отдавать предпочтение кому-то одному из них за то, что он получил этот результат первым. Как и в случае восхождения на Эверест, они разделили славу.

79

Несмотря на некоторое число печальных примеров, — как, скажем, Риман — математики высокого уровня демонстрируют потрясающее здоровье. При написании этой книги меня поразило число математиков, доживших до значительного возрасту и продолжавших активно трудиться практически до конца своих дней. «Математика — очень тяжелая работа, и ее корифеи имеют тенденцию быть выше среднего в том, что касается энергии и здоровья. Ниже определенного предела человек сдает, но выше этого предела напряженная умственная работа способствует сохранению энергии и здоровья (а также — как можно судить из многочисленных исторических свидетельств на протяжении многих лет — способствует долголетию)» ( Литлвуд Дж. И.Искусство работы математика. 1967). Литлвуд, о котором еще много будет сказано в главе 14, стал иллюстрацией своего собственного тезиса, дожив до 92 лет. В 1972 г. его коллега X.А. Холлонд сделал о нем следующую запись: «Ему идет 87-й год, а он продолжает работать по нескольку часов подряд, занимаясь написанием статей для публикации и помогая математикам, которые прислали ему свои задачи». (Цит. по Беркил Дж. Ч.в кн.: Математика: Люди, проблемы, результаты. Brigham Young University. 1984.)

Судя по всему, де ля Валле Пуссен опубликовался чуть раньше. Статья Адамара — она называлась Sur la distribution des z'eros de la fonction (s) et ses cons'equences arithm'etiques [80] — вышла в бюллетене Французского математического общества. Адамар добавил замечание о том, что он узнал о результате де ля Валле Пуссена, когда читал гранки своей статьи. И далее: «Однако я полагаю, что никто не сможет отрицать, что преимущество моего метода состоит в его простоте».

80

О распределении нулей функции (s) и их арифметических следствиях. (Примеч. перев.)

Этого никто никогда и не отрицал. Доказательство Адамара проще; из того факта, что он знал об этом до того, как его статья была напечатана, следует, что он не только слышал о результате де ля Валле Пуссена, но и имел возможность ознакомиться с ним. Однако поскольку их работы с очевидностью независимы, поскольку никогда не было ни малейшего намека на нечестную игру и поскольку и Адамар, и де ля Валле Пуссен были настоящими джентльменами, эти одновременные доказательства не стали причиной вражды или полемики. Я удовлетворюсь тем, что скажу, как говорит и весь математический мир: в 1896 году француз Жак Адамар и бельгиец Шарль де ля Валле Пуссен, работая независимо, доказали ТРПЧ.

III.

Доказательство ТРПЧ является великой поворотной точкой в нашей истории — настолько важным моментом, что в соответствии с ним я разбил книгу на две части. Во-первых, оба доказательства 1896 года опирались на некоторый результат в духе Гипотезы. Если бы или Адамар, или де ля Валле Пуссен смогли доказать справедливость Гипотезы, то справедливость ТРПЧ была бы остановлена немедленно. Они, разумеется, этого не смогли, но им этого и не требовалось. ТРПЧ — это орех, а Гипотеза Римана — молоток. ТРПЧ следует из более слабого (и безымянного) утверждения:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, меньшую единицы.

Если доказать такое, то можно воспользоваться основным результатом Римана в форме, которую ему придал фон Мангольдт, и тем самым доказать ТРПЧ. Именно это и сделали двое наших ученых в 1896 году.

Во-вторых, как только ТРПЧ перестала застилать горизонт, Гипотеза стала видна в полный рост. В ней был сосредоточен следующий по очереди ключевой открытый вопрос в аналитической теории чисел; и по мере того, как математики стали уделять ей внимание, выяснилось, что из доказательства ее справедливости последовало бы огромное множество вещей. Если ТРПЧ была гигантским Белым Китом теории чисел в XIX столетии [81] , то Гипотеза Римана заняла ее место в XX. Даже больше чем просто заняла ее место, поскольку она зачаровала не только специалистов по теории чисел, но и математиков всех сортов и даже, как мы увидим, физиков и философов.

81

Имеется в виду роман-притча Г. Мелвилла «Моби Дик, или Белый Кит» (1851). (Примеч. перев.)

И в-третьих — сколь бы тривиальным ни казалось такое обстоятельство, подобные вещи некоторым образом откладываются в людских головах, — имелось чистое совпадение, определяемое тем, что идея о ТРПЧ зародилась в конце одного столетия (Гаусс, 1792), а доказана теорема была в конце следующего (Адамар и де ля Валле Пуссен, 1896). И как только с этой теоремой дело было решено, внимание математиков переключилось на Гипотезу Римана, которая и занимала их в течение всего следующего столетия — столетия, которое завершилось, так и не принеся никакого доказательства. И это подтолкнуло любознательных исследователей широкого профиля к написанию книг о ТРПЧ и Гипотезе в начале очередного столетия!

Чтобы наполнить сформулированные выше пункты социальным, историческим и математическим содержанием, я кратко расскажу о Жаке Адамаре; мой выбор определен отчасти тем, что среди многих действующих лиц он играл наиболее важную роль, а отчасти тем, что для меня он — привлекательная и располагающая к себе личность.

IV.

В политическом отношении XIX столетие выдалось для Франции не очень счастливым. Если считать вместе со ста днями Наполеона (а также если простить мне незначительные ошибки округления), то с 1800 по 1899 год государственное устройство этой древней нации выглядит следующим образом.

• Первая республика (4 ¹/ ₂года)

• Первая империя (10 лет)

• Реставрация монархии (1 год)

• Реставрация империи (3 месяца)

• Ререставрация монархии (33 года)

• Вторая республика (5 лет)

• Вторая империя (18 лет)

• Третья республика (29 лет)

И даже те 33 года монархии прерывались революцией и сменой династии.

Для французского народа во второй половине столетия величайшей национальной трагедией было поражение, которое французская армия потерпела от Пруссии в 1870 году; затем последовали осада Парижа пруссаками зимой 1870/71 года и мирный договор, по которому Пруссии были уступлены две провинции и выплачена колоссальная денежная контрибуция. Сам этот договор вызвал краткую, но ожесточенную гражданскую войну. Разумеется, последствия всего этого для Франции были огромны. Нация вступила во Франко-прусскую войну империей, а вышла из нее республикой.

Особенно оказалась затронута французская армия. В течение всей оставшейся части столетия, да и позднее, этому гордому институту пришлось не только терпеть унижение из-за поражении 1870 года; в армии воплотились и все надежды нации на реванш и возвращение потерянных земель. Кроме того, армия стала оплотом старомодного французского патриотизма: молодые люди из аристократических, католических и богатых буржуазных семей массово шли служить офицерами. Это склоняло офицерский корпус к консерватизму в старом французском духе «трона и алтаря», до некоторой степени изолируя его от основного направления, в котором развивалась французская жизнь в эти десятилетия. А жизнь шла по направлению к непоседливой и открытой торговой и промышленной республике, занимавшей ведущее положение в искусствах и науках, являвшей средоточие блеска, остроумия и веселья, — к восхитительной, блистательной Франции времен Belle Epoque [82] , одной из высших точек в развитии западной цивилизации.

82

«Прекрасная эпоха» — название, закрепившееся за периодом 1890–1914 гг., характеризовавшимся стабильностью жизни, расцветом культуры и техники. Впрочем надо заметить, что название это появилось после Первой мировой войны и носило отчетливо ностальгический характер. (Примеч. перев.)

Жак Адамар ребенком пережил осаду Парижа, а дом, который занимала его семья, сожгли во время гражданской войны. Родился он в декабре 1865 года во франко-еврейской семье. Его отец преподавал в старших классах школы, а мать давала уроки игры на фортепиано. (Среди ее учеников был Поль Дюка, написавший симфоническую поэму «Ученик чародея», столь хорошо знакомую поклонникам Диснея. [83] ) После получения диплома и недолгого преподавания в школе Адамар в 1892 году защитил диссертацию и в том же году женился. В 1893 году они с женой переехали в Бордо, где он получил должность преподавателя в университете. Их первый ребенок, Пьер, родился в октябре 1894 года, и они занялись созданием одной из тех любящих и деятельных буржуазных семей, где все тесно связаны друг с другом и где каждому полагается играть на музыкальном инструменте и выбрать себе карьеру в бизнесе или науке или же стать врачом или каким-нибудь другим специалистом.

83

Эта музыка — наряду с музыкой Баха, Бетховена, Чайковского, Мусоргского, Понкьелли и Стравинского — была использована в классической полнометражной анимационной ленте «Фантазия» (1940). (Примеч. перев.)