Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
До дела Дрейфуса Адамар, судя по всему, был человеком аполитичным и слегка не от мира сего, кем-то вроде «рассеянного профессора» — тип, часто встречающийся среди великих математических умов. Этот шаблон получил широкое распространение, и в нем и вправду что-то есть. Из-за чисто абстрактной природы материала, с которым они работают, а также из-за необходимости по многу часов подряд сосредотачиваться на нем математикам свойственна тенденция некоторого отрешения от более житейских дел. Нет, конечно, ничего невозможного и в отсутствии у математика подобной отстраненности, и имеется множество контрпримеров. Рене Декарт был солдатом и придворным. (Он смог пережить первое, но не второе. [87] ) Карл Вейерштрасс проводил свои университетские годы за выпивкой и потасовками и вышел из университета без диплома. Джон фон Нейман, один из величайших математиков XX века, был тем еще гулякой, увлекавшимся красивыми женщинами и быстрыми машинами.
87
В 1627 г. Декарт присутствовал при осаде Ла-Рошели, а еще до этого, во время Тридцатилетней войны, служил наемником, отчасти из желания «посмотреть
Жак Адамар, по свидетельствам, не относился к числу упомянутых контрпримеров. Даже если не принимать во внимание апокрифы, которые всегда окружают великих, можно утверждать, что Адамар был не в состоянии завязать галстук без посторонней помощи. Его дочь утверждала, что он не умел считать далее четырех: «После этого наступало n». Так что его участие в деле Дрейфуса говорит о глубине чувств, которые всколыхнуло в нем это событие расшевелившее даже таких людей, которые, как он, являли собой воплощенное беспристрастие. Адамар стал страстным дрейфусаром. Он активно участвовал в Лиге прав человека, которую основал Золя. Третьего сына Адамаров, который родился в феврале 1899 года, назвали Матье-Жоржем — Матье в честь брата Дрейфуса, который был его самым неутомимым защитником, а Жоржем в честь полковника Пикара, чья несгибаемая твердость и спокойная нацеленность на правду были ключевыми факторами в окончательном оправдании Дрейфуса (которого Пикар лично не переносил).
Адамар сохранил общественную активность в течение всей своей последующей жизни, которая была не только исключительно долгой, но и необычайно деятельной и продуктивной. Была она сполна отмечена и трагедиями. Великие войны XX века отняли у него всех трех сыновей. Двое старших погибли при Вердене, с интервалом в три месяца один после другого; Матье-Жорж был убит в 1944 году во время службы в войсках свободной Франции в Северной Африке. В горе и отчаянии после Первой мировой войны Адамар обратился к пацифизму и Лиге Наций. Он содействовал избранию правительства Народного фронта в 1936-1938 годах. Как и многих, даже более искушенных, его до некоторой степени захватили коммунизм и Советский Союз. [88] Изгнанный из Парижа немецким наступлением в 1940 году, он в течение четырех лет преподавал в Колумбийском университете в США. Он повсюду путешествовал, читал лекции и встречался со всеми. Он был увлеченным натуралистом, собравшим музейного уровня коллекцию папоротников и грибов. Он одним из первых поддержал Еврейский университет в Иерусалиме (основанный в 1925 году). Среди многих написанных им книг имеется «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945) [89] — книга, которая все еще заслуживает прочтения благодаря глубокому пониманию автором процесса мышления математиков; некоторые из высказанных там мыслей я использовал в данной книге. У себя дома Адамар организовал любительский оркестр; Альберта Эйнштейна, который был его другом на протяжении всей жизни, приглашали туда в качестве скрипача. В течение 68 лет он был женат на одной и той же женщине. Жаку было 94 года, когда она умерла. После этого он боролся за жизнь в течение двух лет; но вслед за тем силы его духа исчерпала смерть его любимого внука из-за несчастного случая в горах, и через несколько месяцев он умер, не дожив лишь немного до своего 98-летия.
88
Он не вступил в коммунистическую партию, но его дочь Жаклин вступила.
89
Русский перевод этой книги вышел в Москве в 1970 г. в издательстве «Советское радио». (Примеч. перев.)
Остановившись на Жаке Адамаре, я поддался собственным симпатиям — теплым чувствам к приятному человеку и большому математическому таланту. Это, однако, никоим образом не умаляет моего почтения к другим математикам, внесшим вклад в прояснение великой работы Римана и доказательство ТРПЧ. [90] К концу XIX столетия математический мир перешел от эры, когда поистине великих успехов мог достичь великий ум, работающий в одиночку, к эре, когда математика стала коллективным предприятием, в котором работа даже наиболее блестящих исследователей основывается на работе современников и питается ею.
90
Хотя слава доказательства ТРПЧ принадлежит в равной мере Адамару и де ля Валле Пуссену, я написал массу всего о первом и почти ничего о втором. Отчасти это вызвано тем, что я нахожу Адамара интересным и симпатичным человеком. Отчасти же тем, что о де ля Валле Пуссене имеется гораздо меньше материалов. Будучи прекрасным математиком, он, по-видимому, не проявлял себя ни в каких других сферах. Я спросил об этом у Атле Сельберга, единственного из тех математиков, с кем я разговаривал, который мог знать обоих. Адамар? «А, да. Я встречал его на Кембриджском конгрессе» (т.е. в 1950 г). Де ля Валле Пуссен? «Нет. Я никогда его не встречал, и не знаю никого, кто бы встречал. Не думаю, что он много путешествовал».
Одним из признаний этого факта стало устройство периодических международных конгрессов математиков. Первое такое собрание состоялось в Цюрихе в августе 1897 года. Жена Адамара как раз ожидала первого ребенка, а потому Адамар там не присутствовал. Он направил свою работу, с тем чтобы ее прочитал его друг Эмиль Пикар. (Интересно заметить, что как раз в то время в 40 милях от Базеля происходил первый Сионистский конгресс, вызванный, по крайней мере отчасти, делом Дрейфуса.)
2-й конгресс математиков прошел в Париже летом 1900 года, и намерение состояло в том, чтобы проводить конгресс каждые четыре года. Однако у Истории имелись собственные планы. Конгресс не проводился в 1916-м, равно как и в 1940, 1944 и 1948 годах. Система их проведения
возродилась с 1950 года, когда конгресс состоялся в Кембридже, штат Массачусетс. Адамар, конечно, получил приглашение, но из-за его просоветских склонностей ему сначала отказали в визе для въезда в США. Потребовалось ходатайство коллег-математиков и личное вмешательство Трумэна чтобы обеспечить его приезд в Гарвард. (Во время написания этой книги, в начале 2002 года, идут приготовления к 24-му конгрессу этим летом в Пекине — всего лишь второму конгрессу, проводимому за пределами Европы, России и Северной Америки. [91] )91
В 2006 г. конгресс прошел в Мадриде (собрав более 4500 участников), а конгресс 2010 г. планируется провести в Хайдерабаде (Индия). (Примеч. перев.)
Первый математический конгресс XX века состоялся в Париже с 6 по 12 августа 1900 года, и это был один из тех конгрессов, о которых все помнят. Парижский конгресс навсегда останется связан с именем Давида Гильберта — немецкого математика, работавшего в Геттингене — университете Гаусса, Дирихле и Римана. Хотя ему было всего 38 лет, Гильберт уже имел репутацию одного из выдающихся математиков своего времени.
Утром 8 августа в актовом зале Сорбонны Гильберт выступал с докладом о «Математических проблемах» перед примерно двумястами делегатами конгресса, среди которых был и Жак Адамар. Цель Гильберта состояла в том, чтобы обратить мысли коллег-математиков к главным проблемам, которые ставило перед ними новое столетие. Ради этой цели он предложил их вниманию несколько наиболее важных тем, требующих исследования, и задач, требующих решения. Он собрал эти темы и задачи в 23 пункта, восьмым из которых значилась Гипотеза Римана.
С этой речи математика XX века началась всерьез.
Часть вторая
Гипотеза Римана
Глава 11. Обитатели матрешек
В главе 9.vi мы познакомились с некоторыми нулями дзета-функции. Мы видели, что каждое четное отрицательное целое число является нулем дзета-функции: (-2) = 0, (-4) = 0, (-6) = 0 и т.д. Это несколько продвигает нас в понимании Гипотезы Римана, которая, как мы помним, звучит так:
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.
К сожалению, все эти отрицательные четные числа — тривиальные нули. Ну… а где же нетривиальные? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо отправиться в царство комплексных и мнимых чисел.
Эта тема многих напрягает. Они полагают, что мнимые числа это просто страшилки или же что-то надуманное, чего не может быть, но что просочилось в математику откуда-то из области научной фантастики. Все это чепуха. Комплексные числа (частным случаем которых являются мнимые) появились в математике из весьма практических соображений. Они приносили математикам пользу при решении задач, которые без этих чисел не решались. Они не более «мнимые», чем числа любого другого вида. Когда это в последний раз вы спотыкались о семерку?
Иррациональные числа (такие как 2 и ) на самом деле более таинственны, более страшат наш разум и пугают даже сильнее, чем квадратный корень из минус единицы. Действительно, иррациональные числа принесли (и в обличье так называемой континуум-гипотезы продолжают приносить, см. речь Давида Гильберта в главе 12.ii) философам математики куда больше хлопот, чем когда бы то ни было принес безобидный малыш -1. Предпринимались целенаправленные попытки отказаться от иррациональных чисел, причем даже в наше время и даже со стороны видных профессиональных математиков: Кронеккера в XIX столетии, Брауэра и Г. Вейля в начале XX. По поводу некоторых дополнительных замечаний на эту тему см. раздел V в этой главе.
Чтобы получить сбалансированное представление о комплексных числах, неплохо бы понять, как вообще современные математики воспринимают числа. Это мы сейчас и рассмотрим, включив в наш рассказ заодно и комплексные числа. Не нервничайте пока слишком сильно по поводу того, что же они собой представляют: подробности последуют очень скоро, а в несколько следующих абзацев комплексные числа включены просто для полноты.
Итак, как же современный математик воспринимает числа? В виде ажурных букв, вот как! В виде букв N, Z, Q, Rи C. {1} Я пытался придумать какое-нибудь идиотское, а потому застревающее в памяти мнемоническое правило для их запоминания, но не смог изобрести ничего, кроме Nine Zulu Queens Ruled China. [92]
92
Буквально — «девять зулусских цариц правили Китаем», фраза в русском переводе столь же бессмысленная, как и в оригинале, но, кроме того, еще и бесполезная. Вообще-то одной этой фразой дело в любом случае не ограничивается: в математике встречаются еще и ажурные буквы Hи O. В рамках аналогии, приводимой автором в следующем абзаце, это, если угодно, огромные и толстые матрешки, которые по некоторым признакам уже не совсем матрешки. (Примеч. перев.)
А может, я и поспешил немного. Вот альтернативный ответ на тот же вопрос: математики воспринимают числа как набор сидящих одна в другой матрешек. Вот таких.
• Самая внутренняя матрешка: натуральные числа1, 2, 3, 4, 5, ….
• Следующая матрешка: все целые числа.Другими словами, натуральные числа вместе с нулем и отрицательными целыми (такими как -12).
• Следующая матрешка: рациональные числа.Другими словами, все целые вместе с положительными и отрицательными дробями (например, числа 3/ 2, - 1/ 917 635, 1000 000 000 001/ 6).