Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

• Следующая матрешка: вещественные числа.Другими словами, рациональные вместе с иррациональными, такими как 2, , e. (Из примечания [18] в главе 3.vi мы помним, что древние греки открыли существование чисел, которые не являются ни целыми, ни дробями, — иррациональныхчисел.)

• Внешняя матрешка: комплексные числа.

Уместно сделать несколько замечаний по поводу такой организации. Во-первых, числа из каждой матрешки записываются характерным для каждой из них способом.

18

Одно из великих математических открытий Античности, сделанное Пифагором или одним из его учеников около 600 г. до P.X., состояло в том, что не всякое число есть целое или дробь. Например, квадратный корень из 2, без сомнения, не является целым. Грубая арифметика показывает, что он лежит где-то между 1,4 (которое в квадрате дает 1,96) и 1,5 (которое в квадрате дает 2,25). Это, однако, и не дробь. Доказательство таково. Пусть Sобозначает множество положительных целых чисел n,для которых выполнено такое свойство: n2— также положительное целое число. Если множество Sне пусто, в нем есть наименьший элемент. ( Любоенепустое множество положительных целых чисел имеет наименьший элемент.) Обозначим этот наименьший элемент буквой k.Теперь образуем число u = (2 - 1)k.Легко видеть, что (i) uменьше, чем k,(ii) u— положительное целое и (iii) u2— также положительное целое, так что (iv) uлежит в множестве S.Это противоречие, поскольку мы определили kкак наименьший элемент из S,и, следовательно, предположение, из которого мы исходили, — что Sне пусто — должно быть ложным. Следовательно, множество Sпусто. Следовательно, нет положительного целого числа n,для которого n2— положительное целое число. Следовательно, 2 — не дробь. Число, которое не является ни целым, ни дробным, называется «иррациональным», поскольку оно не есть отношение (ratio) двух целых чисел.

• Натуральные числа обычно записываются так: 257.

• Целые могут иметь перед собой знак, например -34.

• Рациональные числа чаще всего записываются в виде дробей. В том, что касается записи в виде дроби, рациональные числа бывают двух видов. Те, величина которых (без учета знака) меньше единицы, называются «правильными дробями», а все остальные — «неправильными». Правильная дробь записывается таким образом: ¹⁴/ ₃₇. Неправильную дробь можно записать двумя способами: как собственно неправильную дробь ¹³/ ₉или же в «смешанном» виде (с выделенной целой частью) 1 ⁴/ ₉.

• Наиболее важным вещественным числам присвоены специальные обозначения, такие как и e. Многие другие можно выразить «в замкнутом виде», подобно

или ²/6. Когда больше ничего нельзя сделать или же просто для того чтобы оценить реальное численное значение вещественного числа, его записывают в виде десятичной дроби, как правило, с многоточием в конце, которое означает: «Это не все! если надо, можно добавить сюда еще десятичные разряды», например -549,5393169816448223…. Их можно округлять, скажем, до «пяти знаков после запятой» -549,53932, или до «пяти значащих цифр» -549,54, или с любой другой точностью.

• Комплексные числа выглядят так: -13,052 + 2,477 i. О них мы еще поговорим.

Следующее, что нужно заметить, — это что обитатели каждой матрешки являются привилегированными гражданами следующей (внешней) и при желании могут быть записаны в стиле, принятом для этой внешней матрешки:

• Натуральные числа (скажем, 257) — это привилегированные целые числа, и их можно записать, поставив перед ними знак плюс, как +257. При виде целого числа со знаком плюс перед ним мы думаем: «Натуральное!»

• Целые (скажем, -27) — это привилегированные рациональные числа, и их можно записать в виде дроби, знаменатель которой равен 1, как - ²⁷/ ₁. При виде рационального числа со знаменателем 1 мы думаем: «Целое!»

• Рациональные числа (скажем, ¹/ ₃) — это привилегированные вещественные числа, и их можно записать в виде десятичных дробей, как 0,33333333…. Насчет рациональных чисел интересен тот факт, что при записи рационального числа в виде десятичной дроби знаки после запятой рано или поздно обязательно начнут повторяться (если только они вообще не исчерпаются, как, скажем, в числе ⁷/ ₈= 0,875). Рациональное число ^{65 463}/ _{27 100}, например, в виде десятичной дроби выглядит следующим образом:

2,4156088560885608856088….

Все рациональные числа демонстрируют такие повторы, но ни одно из иррациональных ничего подобного не делает. Другими словами, иррациональное число не может проявлять никакого порядка в последовательности своих знаков после запятой. Число

0,12345678910111212131516171819202…

ясно демонстрирует некий порядок, и несложно заранее сказать, каков в нем сотый знак после запятой, или миллионный, или триллионный. (Спорим? Это соответственно 5, 1 и 1). Однако число это иррациональное. Когда же мы видим вещественное число, в котором знаки после запятой повторяются, мы думаем: «Рациональное!»

• Любое вещественное число можно записать как комплексное. Например, 2 записывается в виде комплексного числа как 2 + 0 i. Подробности ниже.

(В этом списке можно и перескочить через несколько ступенек и записать, скажем, натуральное число как вещественное: 257,000000000….)

Каждое семейство чисел — каждая из матрешек — обозначается ажурной буквой: N— семейство всех натуральных чисел, Z— целых, Q— рациональных, a R— вещественных. Каждое семейство в определенном смысле содержится внутри следующего. И каждое расширяет возможности математики, позволяя делать что-то такое, чего нельзя было делать с предыдущей матрешкой. Например, Zпозволяет получить ответ для вычитания любого целого числа из любого целого, чего не удавалось сделать, оставаясь в N(7 - 12 =?). Подобным же образом Qпозволяет получить ответ для деления на любое число (кроме нуля), чего не удавалось сделать, оставаясь в Z((-7):(-12) =?). И наконец, Rоткрывает дорогу анализу — математике пределов, — поскольку любая сходящаяся бесконечная последовательность чисел в Rимеет предел (что неверно для Q).

(Вспомним последовательности и ряды, с которыми мы встретились в конце главы 1. Все они состояли из рациональных чисел. Некоторые из них сходились к 2, или ²/ ₃, или 1 ¹/ ₂— т.е. их пределы также оказывались рациональными. Но другие, напротив, сходились к 2, или , или e— иррациональным числам. Таким образом, бесконечная последовательность чисел из Qможет сходиться к пределу, который не лежит в Q. Математический профессиональный термин: Qне является полным. Напротив, Rполно, как полно и С. Эта идея пополнения Qприобретет новое значение, когда в главе 20.v мы будем говорить о p-адических числах.)

Можно выделить и другие категории чисел или внутри приведенной схемы N—Z—Q—R—C, или же «нарезав ее поперек». Очевидный пример доставляют простые числа — подмножество в N. Их совокупность иногда обозначается как P. Имеется также очень важное подмножество в С, называемое алгебраическимичислами и иногда снабжаемое собственной ажурной буквой А. Алгебраическое число — это такое число, которое является нулем некоторого многочлена, все коэффициенты которого взяты из Z, например, 2 x ⁷– 11 x ⁶– 4 x ⁵+ 19 x ³– 35 x ²+ 8 x– 3. Среди вещественных чисел каждое рациональное (и, следовательно, каждое целое и натуральное) — алгебраическое; ^{39 541}/ _{24 565} есть корень многочлена 24 565 x– 39 541 (или, если вы предпочитаете язык уравнений и их решений языку функций и их нулей, — решение уравнения 24 565 x– 39 541 = 0). Иррациональное число может быть, а может и не быть алгебраическим. Те, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными.И число , и число eтрансцендентны, как это доказали, соответственно, Эрмит в 1873 году и Фердинанд фон Линдеманн в 1882.

III.

На рассматриваемый предмет можно взглянуть и с другой стороны, в аспекте истории чисел, которую я тут скроил. «Скроил» — почти в том же смысле, в каком было сшито новое платье короля. На самом деле это полное вранье.

Подложная история чисел, рассказанная Джоном Дербиширом

Люди всегда умели считать. С доисторических времен у них была N— система натуральных чисел. Но Nнесет в себе запрет, невозможность. Нельзя вычесть большее число из меньшего. По мере развития техники это превратилось в препятствие. Температура была 5 градусов, а потом понизилась на 12 градусов — какая стала температура? В Nнет ответа на этот вопрос. Тогда люди изобрели отрицательные числа. Да, и кто-то еще додумался до нуля.

Отрицательные числа, положительные числа и нуль были собраны вместе в новую систему Z.Однако Zнесет в себе невозможность, запрет. Нельзя поделить число на другое число, не являющееся делителем первого.Можно поделить 12 на 3 (ответ: 4) или даже на -3 (ответ: -4), но нельзя поделить 12 на 7. В Zнет ответа для такого действия. По мере развития науки об измерениях это превратилось в препятствие. Для все более точной работы требуются все более точные измерения. Можно на время добиться желаемого совершенства, если ввести новые единицы измерения. Требуется что-то меньшее одного ярда? Хорошо, вот вам дюйм… Однако есть пределы тому, как далеко можно продвинуться таким образом, и насущной стала нужда в общем способе выражения долей единицы. Так были изобретены дроби.

Дроби вместе со всеми целыми были собраны в новую систему рациональных чисел Q. Увы, Qнесет в себе свой собственный запрет. Не всегда удается найти предел сходящейся последовательности.Три примера таких последовательностей были приведены в главе 1.vii. По мере развития науки к моменту, когда потребовался анализ, это стало препятствием, поскольку весь анализ основан на идее предела. Для развития анализа были изобретены иррациональные числа.

Иррациональные числа вместе с рациональными (включая, разумеется, все целые) были собраны в новую систему вещественных чисел R. Но и вещественные числа по-прежнему содержали запрет. Нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.К концу XVI века математика развилась до такой степени, что это стало препятствием. Так были изобретены мнимые числа. Мнимое число — это квадратный корень из отрицательного числа.

Мнимые числа вместе со всеми вещественными составили великий новый синтез: комплексные числа C.С комплексными числами нам доступно все, никаких запретов нет — и наступил конец истории.

Подчеркну, что эта история — полная фальшивка. Наше понимание чисел вовсе не развивалось подобным образом. Порядок — и тот неправильный. Он должен быть таким: N, Q, R, Z, С. Натуральные числа и правда были известны в доисторические времена. Египтяне изобрели дроби в начале третьего тысячелетия до P.X. Пифагор (или один из его учеников) открыл иррациональные числа около 600 года до P.X. Отрицательные числа возникли во времена Возрождения из необходимости бухгалтерского учета (хотя нуль появился чуть раньше). Комплексные числа появились в XVII веке. Все это развивалось малопредсказуемым образом, хаотично, как и большая часть того, что делают люди. Неверно и то, что наступил конец истории. История никогда не кончается; как только одна шахматная партия доиграна, немедленно начинается следующая.