Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

В те дни, как и в наше время, Франция была высокоцентрализованным государством. Получить преподавательскую должность в Париже было необычайно сложно, и подразумевалось, что молодые ученые должны прежде в течение нескольких лет пройти стажировку в провинции. Для Адамара парижский шанс открылся в 1897 году. В том году он вернулся в столицу, оставив свое профессорство в Бордо — его повысили от преподавателя до полного профессора всего за два года, — и стал доцентом в Коллеж де Франс,что представляло собой продвижение с точки зрения престижа — т.е. шаг вверх.

Те шесть лет с 1892-го по 1897-й заложили основу карьеры и славы Адамара. Он был математиком широкого профиля и получал оригинальные результаты в нескольких различных областях. Как правило, студенты, специализирующиеся по математике, впервые встречают его имя в связи с теоремой о трех окружностях в теории функций комплексной переменной — результат, полученный Адамаром в 1896 году; о нем можно прочитать в любой хорошей энциклопедии по математике. [84]

Там будет написано, что Адамар был последним из универсальных математиков — из тех, другими словами, кто охватывал весь предмет целиком, — позже этот самый предмет разрастется до такой степени, что это станет просто невозможно. Однако то же самое будет сказано и о Гильберте, Пуанкаре, Клейне и, наверное, еще об одном или двух математиках того периода. Я не знаю, кто больше заслуживает звания универсального математика, хотя и подозреваю, что правильный ответ — Гаусс.

84

Нет, не могу сдержаться. «Если f— аналитическая функция в кольце 0 < r ₁ < |z| < r ₂ < , r— некоторое число строго между r ₁и r ₂, а M ₁, M ₂и M — максимумы функции fна трех окружностях, соответствующих r ₁, r ₂и r, то выполняется неравенство:

M ^{ln( r2/ r1)} <= M ₁ ^{ln( r2/ r)} M ₂ ^{ln( r/ r1)}».

V.

Получение доказательства ТРПЧ относится к бордоскому периоду жизни Адамара. Отступим чуть в сторону и взглянем на непосредственное математическое окружение, в котором это доказательство было получено.

Главной фигурой во французской математике того времени был Шарль Эрмит (1822-1901) — профессор анализа в Сорбонне до своего ухода на пенсию в 1897 году. Одно из его творений будет играть роль в нашей истории (глава 17.v).

Начиная с 1882 года Эрмит вел математическую переписку с более молодым математиком, голландцем по имени Томас Стилтьес. [85] В 1885 году Стилтьес опубликовал в Comptes Rendus [86] заметку, где утверждал, что доказал нашу теорему 15.1 — результат более сильный, чем Гипотеза Римана, из которого, если Стилтьес действительно его доказал, следует справедливость Гипотезы (однако неверность его не будет опровержением Гипотезы, см. главу 15.v). Однако в той заметке Стилтьес не привел доказательства. Примерно в то же время он написал Эрмиту и в письме повторил свое утверждение, однако добавил: «Мое доказательство слишком сильно закручено; я попробую упростить его, когда вернусь к работе над этими вопросами». Стилтьес был честным человеком и серьезным, уважаемым математиком — его именем назван один вид интеграла. Ни у кого не было причин сомневаться, что у него действительно имелось доказательство, Стилтьес наверняка и сам так считал.

85

Годы жизни Стилтьеса — 1856-1894.

86

«Полученные доклады». Этот термин столь распространен в научной библиографии, что часто сокращается до C.R.

Тем временем работу Римана 1859 года тщательно исследовали и придали его рассуждениям более аккуратный вид. Удостоенный премии результат Адамара также представлял собой значительный шаг в этом направлении. Далее, в 1895 году в Берлине (Германия в то время была империей, правил которой кайзер Вильгельм I) немецкий математик Ханс фон Мангольдт расчистил значительную часть еще не пройденных дебрей и доказал основной результат Римана о связи функции (x), подсчитывающей количество простых чисел, с нулями дзета-функции.

Оставались только два ключевых вопроса: Гипотеза и ТРПЧ. К этому времени все заинтересованные наблюдатели понимали, что Гипотеза — более сильное утверждение. Если бы Гипотезу (молоток) удалось доказать, то ТРПЧ (орех) была бы получена как следствие, без всяких дополнительных усилий. Но ТРПЧ можно было установить и исходя из более слабых результатов, без привлечения Гипотезы, причем доказательство ТРПЧ не означало бы справедливости Гипотезы.

Итак, что было делать математику, если учесть широкую распространенность убеждения, что Стилтьес разделался как с первой, так и со второй проблемой? Начать работать над доказательством более слабого результата — путь к которому благодаря работе по расчистке, которую провели Адамар и фон Мангольдт, был теперь довольно ясен? Но стоило ли затрудняться из-за этого, если более сильный результат Стилтьеса по поводу Гипотезы может появиться в тот момент, когда работа сделана лишь наполовину? С другой стороны, к середине 1890-х годов с момента сделанного Стилтьесом заявления прошло 10 лет, и многих, должно быть, начали одолевать сомнения. Эти сомнения никак не касались личности Стилтьеса; в математике нередки случаи, когда математик верит, что доказал некий результат, а потом, просматривая доказательство, обнаруживает (или, чаще, обнаруживают его коллеги), что в нем содержится логический изъян. Так случилось с первым доказательством Последней теоремы Ферма, данным Эндрю Уайлсом в 1993 году. Такое происходит при более драматических обстоятельствах с героем, от лица которого ведется повествование в написанном в 2000 году романе Филиберта Шогта «Дикие числа». Никто не стал бы думать о Стилтьесе хуже, если бы с ним случилось то, что сплошь и рядом случалось в карьерах математиков. Но где все же это доказательство?

И Шарль де ля Пуссен в Лувенском университете в Бельгии, и Жак Адамар в Бордо взялись за более скромную задачу и вскоре добились успеха. Они доказали ТРПЧ. Тем не менее оба, должно быть, гадали, имели ли смысл их усилия, поскольку, даже если бы их статьи были опубликованы раньше статьи Стилтьеса, его гораздо более сильный результат затмил бы их более слабые достижения. Действительно, Адамар пишет в своей статье: «Стилтьес доказал, что все мнимые нули функции (s)имеют (в согласии с предсказанием Римана) вид ¹/ ₂+ ti, где tвещественно; однако его доказательство не было опубликовано. Я просто намереваюсь показать, что (s)не может иметь нулей с вещественной частью, равной 1».

Доказательство Стилтьеса так и не было опубликовано; Стилтьес умер в Тулузе в последний день 1894 года. Адамар наверняка знал об этом в ходе работы над своей статьей в 1895-1896 годах, так что он, по-видимому, ожидал появления доказательства в ранее не опубликованных результатах среди наследия Стилтьеса. Но оно так и не появилось. Тем не менее до самого недавнего времени не исключалось, что Стилтьес мог доказать Гипотезу. Однако в 1985 году Эндрю Одлыжко и Херман те Риле доказали результат, который ставит теорему 15.1 под серьезное сомнение. Вера в потерянное стилтьесово доказательство Гипотезы Римана после этого, как я понимаю, в значительной мере улетучилась. ^{A3}

VI.

Как уже отмечалось, одним из последствий национальной трагедии 1870–1871 годов стало усиление консервативных элементов в офицерской прослойке французской армии, а также определенное дистанцирование этого класса от основного направления развития французского общества. Это повлекло за собой одно колоссального размера последствие в последние годы XIX века — дело Дрейфуса.

Безнадежно пытаться в нескольких абзацах разобраться и восстановить справедливость в этом знаменитом деле. Оно более десятилетия находилось в центре французской общественной жизни, да и поныне может еще распалить страсти. По этому поводу имеется обширная литература, а также фильмы, романы и по крайней мере один телевизионный мини-сериал (на французском). В кратчайшем изложении: офицер Генерального штаба французской армии Альфред Дрейфус, происходивший из богатой еврейской буржуазной семьи, был арестован в конце 1894 года по обвинению в измене. Его судили закрытым военным трибуналом, осудили, разжаловали и пожизненно заключили в тюрьму на Чертовом острове во Французской Гвиане. Дрейфус, который громко заявлял о своей невиновности, не имел никаких явных мотивов для измены — он всегда проявлял безупречный патриотизм и при этом никогда не нуждался в деньгах.

В марте 1896 года полковник Жорж Пикар из французской войной разведки обратил внимание на то, что почерк, которым был написан документ, послуживший основным свидетельством против Дрейфуса, очень похож на почерк не столько Дрейфуса, сколько другого офицера, майора Эстерхази, человека неуравновешенно характера и широких привычек, хронически обремененного карточным долгами. Пикар сообщил об этом вышестоящим командирам. Ему приказали ничего больше об этом не рассказывать а затем перевели его на французскую пограничную заставу в Северной Африке. На следующий год (1897) брат Дрейфуса Матье узнал о находке Пикара и потребовал, чтобы Эстерхази отдали под суд. Эстерхази был оправдан военным трибуналом в январе 1898 года. Писатель Эмиль Золя без промедления опубликовал открытое письмо, знаменитое «Я обвиняю», адресованное президенту республики Феликсу Фору, где заклеймил ряд людей, вовлеченных в осуждение Дрейфуса, как соучастников чудовищного подлога и несправедливости. Против Золя завели уголовное дело о клевете в адрес военного министерства.

Вслед за тем дело Дрейфуса получило широкую огласку, поглощая внимание общества вплоть до момента окончательного и официального провозглашения невиновности Дрейфуса в июле 1906 года. Имели место горячие судебные разбирательства, драматические повороты сюжета, самоубийство одного из заговорщиков и иные многочисленные захватывающие события. (Возможно, самым захватывающим событием, пусть и не вытекающим непосредственно из дела Дрейфуса, однако же повлиявшим на его ход, была смерть президента Фора «на месте преступления» со своей любовницей в одной из дальних спален Елисейского дворца: у него случился обширный инсульт, и в предсмертной агонии он схватил несчастную женщину за волосы с такой силой, что она не могла самостоятельно освободиться. Ее стоны привлекли слуг во дворце, которые освободили даму, одели ее и вытолкали через черный ход.)

Так случилось, что Жак Адамар был троюродным братом жены Альфреда Дрейфуса, урожденной Люси Адамар. Дело Дрейфуса, таким образом, касалось и его лично. В дополнение к этому личному касательству оно поставило перед всеми французскими евреями важные вопросы самосознания и лояльности. До дела Дрейфуса большинство французской еврейской буржуазии — люди типа Адамаров и Дрейфусов — считали себя полностью ассимилированными, патриотически настроенными французами, которые по стечению обстоятельств были евреями. Однако где-то в глубине общества шевелился антисемитизм, причем не только в армии. Антисемитская полемическая книга «Еврейская Франция» имела большой издательский успех в 1886 году; широкое распространение имела и антисемитская газета «Свободное слово». Дело Дрейфуса вытащило все это на поверхность и заставило французских евреев задуматься, не пребывают ли они в мире собственных иллюзий. Но даже если оставить в стороне фактор антисемитизма, был совершен акт чудовищной несправедливости, и ряды дрейфусаров — тех, кто агитировал в пользу обесчещенного капитана, — включали неисчислимое количество граждан-неевреев, возмущенных лживостью армейских чинов и неспособностью политических властей к действию.