Трактат об электричестве и магнетизме

158. Отсюда следует, что, согласно теореме Кулона из п. 80, поверхностная плотность в точке P равна

=

– e

AD·Ad

4·CP

·

1

AP^3

,

(6)

Плотность электричества в произвольной точке сферы меняется обратно пропорционально кубу расстояния от точки A.

Это поверхностное распределение электричества вместе с точечным зарядом A создаёт по ту же сторону поверхности, где находится точка A, потенциал, эквивалентный потенциалу заряда e в точке A и его изображения -ea/f в точке B, а по другую сторону поверхности потенциал всюду равен нулю. Поэтому само поверхностное распределение заряда создаёт со стороны заряда e потенциал, эквивалентный потенциалу изображения -ea/f в точке B, а с противоположной стороны - потенциал, равный, но противоположный по знаку потенциалу заряда e находящегося в точке A.

Полный заряд на поверхности сферы равен, очевидно, -ea/f так как он эквивалентен изображению в точке B.

Таким образом, мы получили следующие теоремы о действии распределения электричества по сферической поверхности с поверхностной плотностью, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки A находящейся вне или внутри сферы.

Пусть плотность задаётся уравнением

=

C

AP^3

(7)

где C - некоторая постоянная, тогда, согласно (6),

C

=

– e

AD·Ad

4a

.

(8)

Такое поверхностное распределение действует на каждую точку, отделённую от A поверхностью, как точечный заряд -e т.е. 4Ca/(AD·Ad), помещённый в точку A.

На каждую точку, находящуюся по ту же сторону от поверхности, что и точка A, действие эквивалентно действию заряда 4Ca^2/(f·AD·Ad), помещённого в точку B, являющуюся изображением точки A.

Полное количество электричества на сфере равно первой величине, если точка A находится внутри сферы, и второй, если точка A вне сферы.

Эти утверждения были установлены сэром У. Томсоном в его оригинальных геометрических исследованиях, касающихся распределения электричества на сферических проводниках, к которым мы и отсылаем читателя.

159. Если систему с известным распределением электричества поместить вблизи проводящей сферы радиуса a потенциал которой с помощью заземления поддерживается равным нулю, то будет иметь место суперпозиция электризаций, обусловленная различными частями системы.

Пусть A₁, A₂ и т. д.- точки системы, несущие заряд, f₁, f₂, и т. д.- их расстояния от центра сферы, e₁, e₂ и т. д.- заряды в этих точках, тогда изображения этих точек B₁, B₂ и т. д. будут расположены на тех же радиусах, что и сами точки, на расстояниях a^2/f₁, a^2/f₂ и т. д. от центра сферы и заряды их будут равны -e₁(a/f₁), -e₂(a/f₂) и т. д.

Потенциал вне сферы, создаваемый поверхностной электризацией, будет совпадать с потенциалом, который создала бы система изображений B₁, B₂ и т. д. Поэтому эта система называется электрическим изображением системы A₁, A₂ и т. д.

Если сфера находится не под нулевым потенциалом, а под потенциалом V, то следует добавить равномерное распределение электричества на её внешней поверхности с поверхностной плотностью =V/(4a).

Влияние такого распределения во всех точках вне сферы будет такое же, как у точечного заряда Va, помещённого в центре сферы, а во всех точках внутри сферы потенциал просто увеличится на V.

Полный заряд сферы под действием внешней системы точечных зарядов A₁, A₂ и т. д. равен

E

=

Va

–

e

₁

a

f₁

–

e

₂

a

f₂

–

…,

(9)

откуда можно найти заряд E по потенциалу V или наоборот.

Если система зарядов находится внутри сферической поверхности, то заряд, наводимый на поверхности, равен и противоположен по знаку наводящему заряду, как было нами раньше доказано для любой замкнутой поверхности.

160. Энергия, обусловленная взаимодействием точечного заряда e, находящегося на расстоянии f от центра сферы, большем радиуса сферы a, с распределением заряда по сферической поверхности, созданным под влиянием точечного заряда, и с зарядом сферы равна

M

=

Ee

f

–

1

2

ea

f^2(f^2-a^2)

,

(10)

V - потенциал, E - заряд сферы.

Сила отталкивания точечного заряда от сферы равна, согласно п. 92,

F

=

ea

V

f^2

–

ef

(f^2-a^2)^2

=

e

f^2

E

–

e

a^3(2f^2-a^2)

f(f^2-a^2)^2

.

(11)

Следовательно, сила взаимодействия точечного заряда со сферой является всегда притягивающей в следующих случаях: 1) когда сфера не изолирована, 2) когда сфера не заряжена, 3) когда точечный заряд расположен очень близко к поверхности сферы.

Для того чтобы имело место отталкивание, потенциал сферы должен быть положителен и больше ef^3/(f^2-a^2)^2; заряд сферы должен быть того же знака, что и e, и больше, чем

e

a^3(2f^2-a^2)

f(f^2-a^2)^2

.

Равновесная точка является неустойчивой: при сближении тел появляется притяжение, при удалении - отталкивание.

Если точечный заряд находится внутри сферы, действующая на него сила всегда направлена от центра сферы и равна e^2af/(a^2-f^2)^2.

Для точечного заряда, расположенного вне сферы, поверхностная плотность заряда в точке сферы, ближайшей к точечному заряду, равна

₁

=

1

4a^2

Va

–

e

a(f+a)

(f-a)^2

=

1

4a^2

E

–

e

a^2(3f-a)

f(f-a)^2

,

(12)

а в самой удалённой точке

₂

=

1

4a^2

Va

–

e

a(f-a)

(f+a)^2

=

1

4a^2

E

+

e

a^2(3f+a)

f(f+a)^2

.

(13)

Если величина заряда E сферы заключена в пределах

e

a^2(3f-a)

f(f-a)^2

 и

e

a^2(3f+a)

f(f+a)^2

то электризация сферы отрицательна вблизи точечного заряда и положительна с противоположной стороны. Существует некоторая окружность, разделяющая области с положительной и отрицательной электризацией. Эта окружность является линией равновесия.