Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Первая часть должна зависеть от пространственных гармоник только положительных степеней, потому что она не может принимать бесконечных значений внутри сферы. Вторая часть должна зависеть от гармоник отрицательных степеней, потому что она должна исчезать на бесконечном расстоянии от центра сферы.
Таким образом, потенциал, вызванный внешними электродвижущими силами, должен разлагаться в ряд по пространственным гармоникам положительной степени. Пусть A3– коэффициент одной из этих гармоник, имеющей вид A3Siri. Тогда с помощью соотношения (6) мы можем найти соответствующий коэффициент A1 для внутренней сферы и отсюда вывести A2, B2
Предположим теперь, что k3=k1, т.е. рассмотрим случай полой оболочки, для которой k=k2, разделяющей внутреннюю и внешнюю части среды, для которой k=k1.
Если мы положим
C
=
1
,
(2i+1)^2k
1
k
2
+
i(i+1)(k
2
– k
1
)^2
1-
a
1
2i+1
a
2
то
A
1
=
k
1
k
2
(2i+1)^2
CA
3
,
A
2
=
k
2
(2i+1)
(k
1
(i+1)+k
2
i)
CA
3
,
B
2
=
k
2
i
(2i+1)
(k
1
– k
2
)
a
1
2i+1
CA
3
,
B
3
=
i(k
2
– k
1
)
(k
1
(i+1)+k
2
i)
(a
2
2i+1
– a
1
2i+1
)
CA
3
.
(7)
Разность между невозмущённым коэффициентом A3 и его значением A1 в полости внутри сферической оболочки равна
A
3
– A
1
=
(k
2
– k
1
)^2
i(i+1)
1-
a1
a2
2i+1
CA
3
.
(8)
Поскольку эта величина всегда имеет тот же самый знак, что и A3, каковы бы ни были значения k1 и k2, отсюда следует, что независимо от того, лучше или хуже остальной среды проводит сферическая оболочка, электрическое
действие в пространстве, окружённом оболочкой, оказывается меньше, чем оно было бы без неё. Если оболочка оказывается лучшим проводником, чем остальная среда, она стремится выровнять потенциал вокруг внутренней сферы. Если она является худшим проводником, она вообще препятствует электрическим токам достичь внутренней сферы.Случай сплошной сферы может быть получен из рассмотренного выше, если положить a1=0, или же этот случай может быть рассмотрен независимо.
313. Наиболее важным членом в разложении по гармоникам является член с i=1, для которого
C
=
1
,
9k
1
k
2
+
2(k
2
– k
1
)^2
1-
a
1
3
a
1
A
1
=
9k
1
k
2
CA
3
,
A
2
=
3k
2
(2k
1
+k
2
)
CA
3
,
B
2
=
3k
2
(k
1
– k
2
)
a
1
^3
CA
3
,
B
3
=
(k
1
– k
2
)
(2k
1
+k
2
)
(a
2
^3-a
1
^3)
CA
3
.
(9)
Случай сплошной сферы с сопротивлением k2 может быть получен отсюда, если положить a1=0. Мы тогда получаем
A
2
=
3k2
k1+2k2
A
3
,
B
2
=
0,
B
3
=
k2– k1
k1+2k2
a
2
^3
A
3
.
(10)
С помощью общих формул легко показать, что коэффициент B3 в случае полой сферы, имеющей ядро с сопротивлением k1 и окружённой оболочкой с сопротивлением k2, записывается точно так же, как и в случае однородной сплошной сферы с радиусом внешней поверхности и с сопротивлением K где
K
=
(2k1+k2)a2^3+(k1– k2)a1^3