Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Это соотношение из элементарной теории электричества соответствует Теореме Грина из аналитической теории. Выбрав надлежащим образом начальное и конечное состояние системы, можно получить целый ряд полезных результатов.
85 б. Из (4) и (5) можно прийти к другому выражению для превращения энергии, где оно выражается через приращение потенциала:
W'-W
=
1
2
(e'-e)
(V'+V)
.
(6)
Для бесконечно малых приращений (4) и (6) запишутся в виде
dW
=
(Ve)
=
(eV)
.
(7)
Если
V
r
=
(dW
e
/de
r
)
,
(8)
e
r
=
(dW
V
/dV
r
)
.
(9)
86. Пусть в произвольно заданной системе проводников какой-либо из них, который мы обозначим через At, не имеет заряда ни в начальном, ни в конечном состоянии, тогда для этого проводника et=0 и e't=0, так что члены, соответствующие проводнику At, отсутствуют в обеих частях равенства (5).
Если какой-либо другой проводник, скажем At, имеет нулевой потенциал в обоих состояниях системы, то Vt=0, и V't=0, так что соответствующие проводнику At члены отсутствуют в обеих частях равенства (6).
Предположим теперь, что все проводники, за исключением двух, скажем Ar и As, либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, тогда уравнение (5) примет вид
e
r
V'
r
+
e
s
V'
s
=
e'
r
V
r
+
e'
s
V
s
.
(10)
Пусть в начальном состоянии er=1 и er=0, а в конечном e'r=0 и er=1, тогда уравнение (10) примет вид
V'
r
=
V
s
,
(11)
т.е. если единичный заряд, сообщённый проводнику Ar повышает потенциал изолированного проводника As до V, то единичный заряд, сообщённый проводнику Ar, повышает потенциал изолированного проводника As до того же значения V при условии, что все остальные проводники системы либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, так что их потенциал равен нулю.
Здесь мы впервые
встречаемся в области электричества с соотношением взаимности. Такие соотношения взаимности встречаются во всех областях знания и помогают нам часто находить решения новых задач по известным решениям более простых задач.Так, из того факта, что в точке вне проводящей сферы с единичным зарядом потенциал равен r– 1, где r - расстояние от центра сферы, мы заключаем, что малое тело с единичным зарядом, помещённое на расстоянии r от центра проводящей незаряженной сферы, подымает её потенциал до значения r– 1.
Предположим теперь, что в начальном состоянии Vr=1 и Vs=0 а в конечном V'r=0 и Vs=1, тогда уравнение (10) примет вид
e
s
=
e'
r
,
(12)
т.е. если при повышении потенциала Ar до 1 на заземлённом проводнике As индуцируется заряд e, то при повышении потенциала As до 1 на заземлённом проводнике Ar индуцируется такой же заряд e.
Наконец, сделаем третье предположение, что в начальном состоянии Vr=1, a es=0, а в конечном Vr=0, а e's=1; уравнение (10) принимает на этот раз вид
e'
r
+
V'
s
=
0.
Таким образом, если при незаряженном проводнике As повышение потенциала Ar до 1 приводит к повышению потенциала As до V, то при заземлённом проводнике Ar единичный заряд, сообщённый As, индуцирует на проводнике Ar отрицательный заряд, численно равный V.
Во всех этих случаях часть остальных проводников может быть изолирована и не заряжена, остальные должны быть заземлены.
Третий рассмотренный случай является элементарной формой одной из теорем Грина. В качестве примера его применения предположим, что мы установили распределение электрического заряда на различных частях проводящей системы, находящейся под нулевым потенциалом, индуцированное единичным зарядом, сообщённым определённому телу системы As.
Пусть r– заряд тела Ar при этих условиях. Тогда, если предположить, что на As заряда нет, а остальным телам сообщены различные потенциалы, то потенциал тела As будет
V
s
=-
(
r
V
r
)
.
(14)
Таким образом, если мы установили поверхностную плотность в любой точке полого проводящего сосуда, находящегося под нулевым потенциалом, обусловленную единичным зарядом, находящимся в заданной точке внутри сосуда, то, зная значение потенциала в каждой точке поверхности этого же размера и формы, что и внутренняя поверхность проводника, мы можем найти потенциал в точке внутри этой поверхности, где находился единичный заряд.