Трактат об электричестве и магнетизме

¹ См. Williamson, «Differential Calculus», 3rd edition, p. 407.

Коэффициенты ёмкости и индукции удовлетворяют таким же условиям.

89 б.Все коэффициенты потенциала положительны, причём ни один из коэффициентов p_rs не превосходит p_rr или p_ss.

Пусть проводнику A_r сообщён единичный заряд, а все остальные проводники не заряжены. При этом образуется некоторая система эквипотенциальных поверхностей. Одна из них совпадает с поверхностью проводника A_r; потенциал на ней равен p_rr. Если проводник A_s расположен в полости внутри проводника A_r, т.е. полностью окружён им, то потенциал A_s тоже равен p_rr.

Если же проводник A_s находится вне A_r, то его потенциал p_rs будет заключаться между p_rr и нулём.

Действительно, рассмотрим силовые линии, выходящие из заряженного проводника A_r. Заряд проводника измеряется превышением числа выходящих из проводника линий над числом заканчивающихся на нём. Поэтому для незаряженного проводника число входящих в проводник линий должно равняться числу выходящих из него. Линии, входящие в проводник, приходят из области с большим потенциалом, а выходящие линии уходят в области с меньшим потенциалом. Поэтому потенциал незаряженного проводника должен быть промежуточным между наибольшим и наименьшим потенциалом в поле, и, следовательно наибольший и наименьший потенциал не может достигаться на незаряженное теле.

Таким образом, наибольшим потенциалом должен быть потенциал p_rr заряженного тела A_r, а наименьшим - потенциал на бесконечном расстоянии, равный нулю; потенциалы всех остальных проводников p_rs должны лежать между p_rr и нулём.

Если A_s полностью охватывает A_t, то p_rs = p_rt.

89 в. Ни один из коэффициентов индукции не может быть положительным и сумма всех коэффициентов индукции, относящихся к определённому проводнику, численно не превышает коэффициента ёмкости этого проводника, который всегда положителен.

Пусть A_r находится под единичным потенциалом, тогда как на всех остальных проводниках поддерживается нулевой потенциал. Тогда заряд на A_r будет равен q_rr, а на любом прочем проводнике A_s равен q_rs.

Число силовых линий, выходящих из A_r, равно q_rr. Часть из них кончается на других проводниках, часть может уходить в бесконечность, но ни одна силовая линия не может идти с одного из прочих проводников на другой или же в бесконечность, так как все они находятся под нулевым потенциалом.

Ни одна силовая линия не может выйти из такого проводника A_s, так как ни одна область поля не имеет потенциал ниже, чем на A_s. Если проводник A_s полностью отрезан от проводника A_r замкнутой поверхностью одного из проводников, то q_rs равно нулю. Если A_s не отрезано полностью, то q_rs отрицательно.

Если один из проводников A_t полностью окружает A_r, то все силовые линии, выходящие из A_r, попадают на A_t, и на проводники, находящиеся внутри A_t, и сумма коэффициентов индукции этих проводников по отношению к A_r, будет равна величине q_rr с обратным знаком. Если же A_r не полностью окружено проводником, то арифметическая сумма коэффициентов индукции q_rs будет меньше, чем q_rr.

Мы вывели эти две теоремы независимо, исходя из физических соображений. Предоставляем любителям математики установить, является ли одна из них следствием другой.

89 г. Если в поле имеется единственный проводник, то его собственный коэффициент потенциала равен обратной величине его ёмкости.

Центр распределения электричества в отсутствие внешних сил называется электрическим центром проводника. Если проводник симметричен относительно своего геометрического центра, то эта точка и является электрическим центром. Если размеры проводника малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, то положение электрического центра можно определить достаточно точно на глаз.

Потенциал на расстоянии c от электрического центра имеет значение между

e

c

1+

a^2

c^2

и

e

c

1-

a^2

c^2

где e - заряд проводника, а a -наибольшее расстояние точек его поверхности от электрического центра.

Действительно, если предположить, что заряд сосредоточен в двух точках, находящихся на расстоянии a по обе стороны от электрического центра, то первое из приведённых выражений даст потенциал в точке, лежащей на прямой, соединяющей заряды, а второе - на перпендикулярной ей прямой. Для всех остальных распределений заряда внутри сферы радиуса a потенциал будет иметь значение, промежуточное между этими двумя.

Если в поле имеется два проводника, то их взаимный коэффициент потенциала равен 1/c', где c' отличается от расстояния c между их электрическими центрами не больше чем на (a^2+b^2)/c. Здесь a и b - наибольшие расстояния точек поверхностей обоих тел от их электрических центров.

89 д. Если в поле вносится новый проводник, то собственные коэффициенты потенциала всех остальных проводников уменьшаются.

Действительно, предположим сначала, что новое тело B - диэлектрик (с такой же удельной индуктивной способностью, как у воздуха) и не несёт на себе никаких зарядов. Тогда если одному из проводников A₁ сообщить заряд e₁, то на распределение электричества на проводниках тело B не повлияет, так как B остаётся всюду незаряженным, и электрическая энергия системы будет просто равна (eV)/2 = (e^2p)/2.

Пусть теперь B становится проводником. Заряд начнёт по нему перетекать из областей с большим потенциалом в области с меньшим потенциалом, при этом электрическая энергия системы уменьшится, так что величина (e^2p)/2 должна уменьшиться.

Поскольку e остаётся постоянным, должно уменьшиться p.

Если к телу B будет добавлено другое тело b, находящееся в контакте с ним, то p ещё больше уменьшится.

В самом деле, предположим сначала, что тела B и b не соединены. Внесение нового тела b уменьшит p. Пусть после этого тела B и b соединены. Если какой-либо заряд перейдёт с одного тела на другое, то он пойдёт от большего потенциала к меньшему, так что, как мы показали, p опять уменьшится.

Таким образом, уменьшение p проводящим телом B больше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого вписывается в B, и меньше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого охватывает B.

В главе XI мы покажем (п. 146), что сфера диаметром b на расстоянии r, большом по сравнению с b, уменьшает величину p приблизительно на b³/(8r⁴).

Отсюда следует, что если тело B любой другой формы, и b - его наибольший поперечный размер, то уменьшение p должно быть меньше b³/(8r⁴).

Поэтому если наибольший размер тела B настолько мал по сравнению с расстоянием от тела A₁ что величинами порядка b³/(8r⁴) мы можем пренебречь, то в качестве достаточного приближения для p можно рассматривать обратную величину ёмкости уединённого тела A₁.

90 а. Пусть ёмкость уединённого проводника A₁ равна K₁, ёмкость уединённого проводника A₂ равна K₂, и пусть среднее расстояние между этими проводниками равно r, причём r очень велико по сравнению с наибольшими поперечными размерами A₁ и A₂. Тогда p=(1/K₁), p=(1/r), p=(1/K₂), V=eK^{– 1}+er^{– 1}, V=er^{– 1}+eK^{– 1}.