Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Действительно, единичный положительный заряд на A1 создаёт распределение электричества на A3, при котором +e находится на стороне, наиболее удалённой от A1 а -e - на стороне, ближайшей к A1. Потенциал на A2, создаваемый этим распределением электричества на A3, будет положительным или отрицательным в зависимости от того, какой из зарядов, +e или -e, ближе к A2, и если тело A3 не очень вытянуто, то это зависит от того, будет ли угол A1A2A3
Для продолговатого тела A3 легко видеть, что если его наибольшая ось расположена по касательной к окружности, проходящей через точки A1, A3 и A2, то оно может повысить потенциал A2, даже находясь полностью вне сферы, и, наоборот, если его наибольшая ось направлена по радиусу этой окружности, то оно может уменьшить потенциал A2, даже находясь полностью внутри сферы. Эти соображения служат лишь для грубой оценки ожидаемых явлений при заданной конфигурации прибора.
92. Если в поле вносится новый проводник A3, то ёмкости всех имевшихся ранее в поле проводников увеличиваются, а численные значения коэффициентов индукции любой пары проводников уменьшаются.
Действительно, допустим, что A1 находится под единичным потенциалом, а все остальные проводники - под нулевым. Поскольку заряд вновь внесённого проводника будет отрицательным, он индуцирует на всех остальных проводниках положительный заряд, тем самым увеличивая положительный заряд A1 и уменьшая отрицательные заряды всех остальных проводников.
93 а. Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы изолированных заряженных проводников.
Поскольку проводники изолированы, то их заряды остаются при перемещении постоянными. Пусть их потенциалы равны V1, V2, …, Vn до перемещения и V'1, V'2, …, V'n– после. Тогда электрическая энергия равна W=(1/2)(eV) до перемещения и W'=(1/2)(eV') - после.
Работа, совершаемая при перемещении электрическими силами, равна разности начальной энергии W и конечной энергии W' т.е. W-W'=(1/2)[e(V-V')].
Это выражение даёт значение работы при любом перемещении системы изолированных проводников, большом или малом.
Чтобы найти силу, стремящуюся произвести какой-либо частный вид перемещения, обозначим через переменную, изменение которой соответствует этому виду перемещения, а через - соответствующую силу, которую мы считаем положительной, если электрическая сила стремится увеличить . Тогда d=-dWe, т.е. =-(dWe/d), где We– электрическая энергия, выраженная как квадратичная функция от зарядов.
93 б. Докажем, что (dWe/d) + (dWV/d) = 0.
У нас есть три различных выражения для энергии системы.
Во-первых, W=(1/2)(eV). Это определённая функция от d зарядов и d потенциалов.
Во-вторых, We=(1/2)(eresprs), где r и s могут быть и одинаковыми и разными, причём в сумму включается как rs, так и sr. Это функция от n зарядов и от переменных, определяющих их расположение. Пусть одна из этих переменных.
И, в-третьих, WV=(1/2)(VrVsqrs),
где суммирование производится как и выше. Это функция от n потенциалов и от переменных, определяющих конфигурацию, одной из которых является .Поскольку W=We=WV, то We+WV– 2W=0.
Представим себе, что n зарядов, n потенциалов и как-то меняются согласованным образом. Тогда
dWe
der
–
V
r
e
r
+
dWV
dVs
–
e
s
V
s
+
+
dWe
d
+
dWV
d
=
0.
Однако n зарядов, n потенциалов и не являются независимыми, так как лишь n+1 из этих величин независимы. Но мы уже доказали, что (dWe/der)=Vr, так что первая сумма тождественно обращается в нуль. Отсюда следует, что (dWV/dVs) = es. (даже если бы мы это уже не доказали раньше) и, наконец, что (dWe/d) + (dWV/d) = 0.
Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы проводников, потенциалы которых поддерживаются постоянными
93 в. Из последнего уравнения следует, что сила равна =(dWV/dVs), так что если система перемещается при условии, что все потенциалы остаются постоянными, то работа, совершаемая электрическими силами, равна
d
=
dW
V
=
W'
V
– W
V
,
т.е. равна в этом случае приращению электрической энергии.
Таким образом, мы имеем здесь увеличение энергии при одновременном совершении системой работы. Следовательно, в систему должна подводиться энергия от какого-либо внешнего источника, например от вольтовой батареи, обеспечивающей постоянство потенциалов при перемещении.
Совершаемая батареей работа равна, следовательно, сумме совершаемой системой работы и приращения энергии, а поскольку они равны, то работа, совершаемая батареей, равна удвоенной работе, совершаемой системой проводников при перемещении.
О сравнении подобных заряженных систем
94. Если две заряженные системы геометрически подобны, так что соответствующие длины в этих системах относятся как L к L', и если диэлектрик, разделяющий проводники в обеих системах, один и тот же, то коэффициенты индукции и ёмкости этих систем относятся как L к L'. Действительно, если рассмотреть соответствующие части A и A' этих систем и предположить, что количество электричества на A равно e, а на A' равно e', то создаваемые этими зарядами потенциалы V и V' в соответствующих точках B и B' будут равны V=(e/AB), V'=(e'/A'B'). Но AB относится к A'B' как L к L', так что e:e = LV:L'V'.