Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Следовательно, если потенциал известен во всех точках замкнутой поверхности, то его можно определить и в любой точке внутри, если внутри поверхности нет заряженных тел, и во всех точках снаружи, если снаружи нет заряженных тел.
Теория системы проводников
87. Пусть A1, A2, …, An– n проводников произвольной формы, e1, e2, …, en– их заряды, a V1, V2, …, Vn– их потенциалы. Пусть диэлектрическая среда, разделяющая проводники, остаётся
В п. 84 было показано, что потенциал каждого проводника является однородной линейной функцией от n зарядов проводников. Следовательно, электрическая энергия системы, являющаяся полусуммой произведений потенциала каждого проводника на его заряд, должна быть однородной квадратичной функцией от n зарядов типа
W
e
=
1
2
p
e^2
+
p
ee
+
1
2
p
e^2
+
p
ee
+
+
p
ee
+
1
2
p
e^2
+ …
.
(15)
Индекс e указывает, что W представлено как функция зарядов. W без индекса будет означать выражение (3), в которое входят и заряды и потенциалы.
Из выражения (15) можно найти потенциал любого проводника. Потенциал определяется как работа, необходимая для переноса единичного заряда из области нулевого потенциала в точку с данным потенциалом, а поскольку эта работа идёт на увеличение W, то достаточно продифференцировать We по заряду определённого проводника, чтобы найти его потенциал. Таким образом, получим систему n линейных уравнений
V
=
pe
+
…
+
p
r
e
r
+
…
+
p
n
e
n
,
…
…
…
…
…
…
V
s
=
p
s
e
+
…
+
p
r
s
e
r
+
…
+
p
n
s
e
n
,
…
…
…
…
…
…
V
n
=
p
n
e
+
…
+
p
r
n
e
r
+
…
+
p
n
n
e
n
,
(16)
выражающих n потенциалов через n зарядов.
Коэффициенты prs называются коэффициентами потенциала. Каждый коэффициент имеет два индекса, первый из которых указывает на заряд, а второй - на потенциал.
Коэффициент prr с одинаковыми индексами показывает величину потенциала проводника Ar при единичном заряде на нём и при нулевых зарядах на всех остальных проводниках. Существует n таких коэффициентов по числу проводников.
Коэффициент prs
с разными индексами показывает величину потенциала на проводнике As при единичном заряде на проводнике Ar и при нулевых зарядах всех остальных проводников, кроме Ar.Мы уже показали в п. 86, что prs=psr. Мы можем доказать это сейчас короче, рассмотрев цепочку равенств
p
rs
=
dVs
der
=
d
der
dWe
des
=
d
des
dWe
der
=
p
sr
.
(17)
Число различных коэффициентов с двумя отличающимися индексами равно, следовательно, n(n-1)/2, по одному для каждой пары проводников.
Решая уравнения (16) относительно e1, e2 и т. д., мы получим n уравнений, выражающих заряды через потенциалы
e
=
qV
+
…
+
q
r
V
r
+
…
+
q
n
V
n
,
…
…
…
…
…
…
e
s
=
q
s
V
+
…
+
q
r
s
V
r
+
…
+
q
n
s
V
n
,
…
…
…
…
…
…
e
n
=
q
n
V
+
…
+
q
r
n
V
n
+
…
+
q
n
n
V
n
,
(18)
В этом случае также qrs=qsr, так как
q
rs
=
der
dVs
=
d
dVs
dWV
dVr
=
d
dVr
dWV
dVs
=
q
sr
.
(19)
Подставляя значения зарядов в выражение для электрической энергии