Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Отсюда q=K(1-KKr– 2)– 1, q=KKr– 1(1-KKr– 2)– 1, q=K(1-KKr– 2)– 1.
Здесь q и q -ёмкости проводников A1 и A2, когда они уже не удалены по отдельности на бесконечное расстояние от всех тел, а помещены на расстоянии r друг от друга.
90 б. Если два проводника настолько близки друг к другу, что их коэффициент взаимной индукции велик, то такую комбинацию мы называем Конденсатором.
Пусть A и B - два проводника (электрода) конденсатора.
Пусть L -
Пусть a и b - электроды другого конденсатора, находящегося на расстоянии R от первого, причём R много больше размеров каждого конденсатора, и пусть коэффициенты ёмкости и индукции уединённого конденсатора ab равны соответственно l, n, m. Рассчитаем влияние одного из конденсаторов на коэффициенты другого.
Положим
D
=
LN-M^2
,
d
=
ln-m^2
.
Тогда коэффициенты потенциала для каждого из конденсаторов в отдельности будут равны
p
AA
=
D
– 1
N,
p
aa
=
d
– 1
n,
p
AB
=
– D
– 1
M,
p
ab
=
– d
– 1
m,
p
BB
=
D
– 1
L,
p
bb
=
d
– 1
l.
Значения этих коэффициентов существенно не изменятся от присутствия другого конденсатора на расстоянии R.
Коэффициент потенциала для любых двух проводников, находящихся на расстоянии R равен R– 1, так что pAa = pAb = pBa = pBb = R– 1.
Таким образом, уравнения для потенциала имеют вид
V
A
=
D
– 1
Ne
A
–
D
– 1
Me
B
+
R
– 1
e
a
+
R
– 1
e
b
,
V
B
=
– D
– 1
Me
A
–
D
– 1
Le
B
+
R
– 1
e
a
+
R
– 1
e
b
,
V
a
=
R
– 1
e
A
+
R
– 1
e
B
+
d
– 1
ne
a
–
d
– 1
me
b
,
V
b
=
R
– 1
e
A
+
R
– 1
e
B
–
d
– 1
me
a
+
d
– 1
le
b
.
Решая
эти уравнения относительно зарядов, получимq
AA
=
L'
=
L
+
(L+M)^2(l+2m+n)
R^2-(L+2M+N)(l+2m+n)
,
q
AB
=
M'
=
M
(L+M)(M+N)(l+2m+n)
R^2-(L+2M+N)(l+2m+n)
,
q
Aa
=-
R(L+M)(l+m)
R^2-(L+2M+N)(l+2m+n)
,
q
Ab
=-
R(L+M)(m+n)
R^2-(L+2M+N)(l+2m+n)
,
где L', M', N' - значения L, M, N' при внесении второго конденсатора в поле.
Если в поле вносится лишь один проводник a, то m=n=0 и
q
AA
=
L'
=
L
+
(L+M)^2l
R^2-l(L+2M+N)
,
q
AB
=
M'
=
M
(L+M)(M+N)l
R^2-l(L+2M+N)
,
q
Aa
=-
Rl(L+M)
R^2-l(L+2M+N)
.
Если имеется просто два проводника A и a, то M=N=m=n=0, и
q
AA
=
L
+
L^2l
R^2-Ll
,
q
Aa
=-
RLl
R^2-Ll
,
что согласуется с выражениями, найденными в п. 90 а.
Величина L+2M+N даёт полный заряд конденсатора при единичном потенциале на электродах. Она не может превосходить половины наибольшего размера конденсатора.
L+M - заряд первого электрода, a M+N - заряд второго при единичном потенциале на обоих электродах. Обе эти величины должны быть положительны и меньше ёмкости самого электрода. Поэтому поправки в коэффициентах ёмкости конденсатора значительно меньше, чем для простого проводника той же ёмкости.
Приближения такого рода часто полезны при оценке ёмкости проводников неправильной формы, находящихся на значительном расстоянии от остальных проводников.
91. Если в поле вносится округлый проводник A3, размеры которого малы по сравнению с расстоянием между проводниками, то коэффициент потенциала A1 относительно A2 увеличивается, если A3 находится внутри сферы, построенной на прямой A1A2 как на диаметре, и уменьшается, если A3 вне этой сферы.