Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
=
d^2
dx^2
+
d^2
dy^2
+
d^2
dz^2
+
+
d
dx
d
dx
+
d
dy
d
dy
+
d
dz
d
dz
=
=
– ^2
– S.
,
(7)
согласно (2) и (3). По Теореме III
R cos
ds
=
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
d
,
так
d
d
ds
–
^2
d
=
S.
d
.
(8)
Поскольку в правой части равенства и можно поменять местами, это можно сделать и в левой части равенства. Таким образом, мы получили полное доказательство Теоремы Грина, даваемой равенством (4).
96 б. Теперь мы покажем, что Теорема Грина справедлива и в случае, когда одна из функций, скажем , многозначна, если её первые производные однозначны и не обращаются в бесконечность в односвязной области .
Поскольку и однозначны, то средняя часть равенств (4) однозначна. Однако из-за многозначности оба слагаемых левой части равенств (4) многозначны. Но если выбрать какое-либо одно значение 0 из многих значений в точке A внутри области , то тем самым определяется значение функции в любой другой точке P. Действительно, поскольку выбранное значение является непрерывным внутри объёма, то значение в точке P должно совпадать с тем решением, которое получается непрерывным изменением вдоль любого пути от A к P, начиная со значения 0 в точке A. Если бы значение в точке P получалось различным для различных путей из A в P, то эти два пути должны были бы охватывать замкнутую кривую, на которой первые производные от бесконечны. Но это противоречит нашим условиям. Поскольку первые производные по условию не обращаются в бесконечность внутри области , эта замкнутая кривая должна быть целиком вне этой области, а поскольку область односвязна, два пути внутри области не могут охватывать чего-либо вне области.
Таким образом, при заданном значении 0 функции в точке A её значение в точке P определяется однозначно.
Если в точке A выбрано какое-либо другое значение , скажем 0+n, то значение функции в точке P будет +n. Однако значение левой части равенства (4) останется тем же, что и раньше, потому что это изменение приводит к добавлению в левой части (4) члена
n
d
d
ds
–
^2
d
,
который, согласно Теореме III из п. 21, равен нулю.
96 в. Если область двухсвязная или многосвязная, то её можно свести к односвязной области, замкнув каждый её контур диафрагмой (что позволит применить рассматриваемую теорему к области, ограниченной поверхностью области , а также положительной и отрицательной сторонами диафрагмы).
Пусть s1– одна из этих диафрагм, а 1, - соответствующая циклическая постоянная, т. е. приращение при однократном обходе по контуру в положительном направлении. Поскольку область расположена по обе стороны от диафрагмы s1, то каждый элемент s1 войдёт дважды в поверхностный интеграл.
Пусть нормаль 1 проведена в положительную сторону ds1 a '1– в отрицательную. Тогда (d/d'1) = -(d/d1) и '1=1+1, и так что элемент поверхностного интеграла, обусловленный ds1,
будет равен1
d
d1
ds
1
–
'
1
d
d'1
ds
1
=
–
d
d1
ds
1
,
поскольку d1– элемент внутренней нормали к положительной поверхности.
Таким образом, если область s многосвязная, то первая часть уравнения (4) запишется в виде
d
d
ds
–
1
d
d1
ds
1
– …-
n
d
dn
ds
n
–
–
^2
d
,
(4a)
где d - элемент внутренней нормали к граничной поверхности, первый поверхностный интеграл берётся по граничной поверхности, а остальные - по различным диафрагмам, каждый элемент поверхности которых входит в интеграл один раз с нормалью, направленной в соответствии с положительным направлением контура.
Необходимость такой модификации теоремы для многосвязных областей была впервые показана Гельмгольцем 2, а первое её применение к рассматриваемой теореме принадлежит Томсону 3.
2 «"Uber Integrate der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen», Crelle, 1858. Англ, перевод проф. Тэта; Phil. Mag., 1867 (I).
3 «On Vortex Motion», Trans. R. S. Edin., XXV, part. I, p. 241 (1867).
96 г. Предположим теперь вместе с Грином, что одна из функций, скажем , не удовлетворяет тому условию, что сама функция и её первые производные не обращаются в бесконечность внутри заданной области. Пусть она обращается в бесконечность в точке P этой области, и только в ней, причём вблизи точки P функция равна 0+e/r, где 0– конечная и непрерывная величина, а r - расстояние от P. Такой случай имеет место, если - потенциал количества электричества e, сосредоточенного в точке P, и любого распределения электричества с объёмной плотностью, нигде не обращающейся в бесконечность в рассматриваемой области.
Предположим теперь, что вокруг точки P как центра описана сфера очень малого радиуса a. Поскольку в области вне сферы, но внутри поверхности s, функция никаких особенностей не имеет, то мы можем применить к ней Теорему Грина, не забыв учесть при поверхностном интегрировании и поверхность малой сферы.
При вычислении объёмных интегралов следует из интеграла, взятого по всей области, вычесть интеграл по объёму малой сферы.
Но интеграл
^2
dx
dy
dz
по объёму сферы не может по абсолютной величине превосходить
(^2)
g
dx
dy
dz
,
т.е.
(^2)
g
2ea^2
+
4
3
a^3
0
,
где индекс g какой-либо величины означает наибольшее численное значение этой величины внутри рассматриваемой сферы.
Таким образом, этот объёмный интеграл порядка a^2 и может быть опущен при стремлении a к нулю.