Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
8
R^2m
,
c
=-
1
8
R^2n
.
Таким образом, если элемент ds перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, то действующая на него сила нормальна к поверхности, а численное значение силы, действующей на единицу площади, то же, что и в предыдущем случае, но направление её обратное - это не натяжение, а давление.
Итак, мы полностью определили характер напряжения в любой точке среды.
Направление электродвижущей напряжённости в точке является главной осью напряжения; напряжение в этом направлении носит характер натяжения, и его численное значение равно
p=R^2/8
,
(22)
где R -
Любое направление, перпендикулярное этому, также является главной осью напряжения; напряжение вдоль такой оси носит характер давления, численная величина которого также равна p.
Определённое так напряжение - не самого общего вида, так как для него два главных значения напряжения равны друг другу, а третье - равно им численно, но отличается знаком.
Эти условия уменьшают число независимых переменных, определяющих напряжение, с шести до трёх; поэтому оно полностью определяется составляющими электродвижущей напряжённости -(d/dx), -(d/dy), -(d/dz).
Три соотношения между шестью составляющими напряжения имеют вид
p^2
yz
=
(p
xx
+p
yy
)
(p
zz
+p
xx
)
,
p^2
zx
=
(p
yy
+p
zz
)
(p
xx
+p
yy
)
,
p^2
xy
=
(p
zz
+p
xx
)
(p
yy
+p
zz
)
.
(23)
107. Посмотрим теперь, нуждаются ли полученные нами результаты в изменении в случае, когда конечное количество электричества сосредоточено на конечной поверхности, так что объёмная плотность заряда бесконечна на поверхности .
Как было показано в п. 78а, 786, в этом случае составляющие электродвижущей напряжённости разрывны на поверхности. Следовательно, и составляющие напряжения тоже разрывны на поверхности.
Пусть l, m, n - направляющие косинусы нормали к ds; P, Q, R - составляющие электродвижущей напряжённости на той стороне, куда проведена нормаль, а P', Q', R' - её составляющие с другой стороны.
Тогда, согласно 78а и 786
P-P'
=
4l
,
Q-Q'
=
4m
,
R-R'
=
4n
,
где - поверхностная плотность заряда.
Если a - составляющая по оси х результирующей силы, действующей на единицу поверхности вследствие напряжений по обе стороны от неё, то
a
=
l(p
xx
– p'
xx
)
+
m(p
xy
– p'
xy
)
+
m(p
xz
– p'
xz
)
=
=
1
8
l{
(P^2-P'^2)
–
(Q^2-Q'^2)
–
(R^2-R'^2)}
+
+
1
4
m
(PQ-P'Q')
+
1
4
n
(PR-P'R')
=
=
1
8
l{
(P-P')(P+P')
–
(Q-Q')(Q+Q')
–
(R-R')(R+R')}
+
+
1
8
m{
(P-P')(Q+Q')
+
(P+P')(Q-Q')
}+
+
1
8
n{
(P-P')(R+R')
+
(P+P')(R-R')
}=
=
1
2
l{
l(P+P')
–
m(Q+Q')
–
n(R+R')
}+
+
1
2
m{
l(Q+Q')
+
m(P+P')
}+
+
1
2
n{
l(R+R')
+
n(P+P')
}=
1
2
(P+P')
.
Таким
образом, приняв, что напряжение во всех точках даётся уравнениями (14), мы нашли, что x-составляющая результирующей силы, действующей на единицу площади заряженной поверхности, равна поверхностной плотности заряда, умноженной на среднее арифметическое значение x-составляющей электродвижущей напряжённости по обе стороны поверхности.К этому же результату мы пришли в п. 79 фактически аналогичным методом.
Таким образом, гипотеза о напряжении в окружающей среде применима и в случае, когда на конечной поверхности сосредоточено конечное количество электричества.
Обычно значение результирующей силы, действующей на элемент поверхности, выводится из теории действия на расстоянии при рассмотрении участка поверхности, размеры которого много меньше радиусов кривизны поверхности 1.
1 Этот метод берёт начало от Лапласа. См. Пуассон «О распределении электричества...». M'em. de l'Institut, 1811, р. 30.
Возьмём на нормали к средней точке этого элемента поверхности точку P, расстояние которой от поверхности много меньше размеров элемента поверхности - Электродвижущая напряжённость в этой точке, обусловленная небольшим участком поверхности, приблизительно равна напряжённости, создаваемой бесконечной плоскостью, т. е. равна 2 и направлена от поверхности по нормали к ней. В точке P', расположенной точно так же по другую сторону поверхности, напряжённость будет такая же, но направлена в противоположную сторону.
Теперь рассмотрим ту часть электродвижущей напряжённости, которая создаётся остальной поверхностью и другими заряженными телами, находящимися на конечном расстоянии от рассматриваемого элемента поверхности. Поскольку точки P и P' бесконечно близки друг к другу, составляющие электродвижущей напряжённости, создаваемой зарядами, находящимися на конечном расстоянии, будут в обеих точках одинаковы.
Обозначим x-составляющую электродвижущей напряжённости в точках A и A', создаваемую зарядами, находящимися на конечном расстоянии, через P0. Тогда значение полной x-составляющей в точке A будет P=P0+2l, а в точке A' - P'=P0– 2l, откуда P0=(P+P')/2.