Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
d1
dy
,
R
dz
ds
=-
d1
dz
,
(12)
где R - величина напряжённости, равная -d1/ds так что
dp
dx
d1
dx
+
dp
dy
d1
dy
+
dp
dz
d1
dz
=
– R
dp
ds
,
=
R^2
dp
d1
,
(13)
и
p^2
=
R^2
dp
d1
,
(14)
откуда
p
=
C exp
1
0
^21
R^2
d
1
,
(15)
где интеграл понимается как криволинейный интеграл вдоль линии s
Предположим теперь, что вдоль линии s
–
d2
ds
=
f
dx
ds
+
g
dy
ds
+
h
dz
ds
,
=
– p
d1
ds
.
(16)
Тогда
2
=
C
0
exp
^21
R^2
d
1
d
1
,
(17)
где всегда подразумевается, что интегрирование производится вдоль линии s.
Остаётся определить постоянную C из условия, что 2=1 на s1 когда и 1=1 т.е.
C
1
0
exp
0
^2
R^2
d
d
=
1.
Таким образом, получается второе приближение для Этот процесс может быть повторён снова.
В результате, рассчитав V1, VD2, V2 и т. д., мы получим значения ёмкости, которые последовательно то больше, то меньше истинной ёмкости и непрерывно приближаются к ней.
Описанный выше метод требует расчёта формы линии s и проведения интегрирования вдоль неё. В общем случае это операции, слишком сложные для практических целей. Однако в некоторых частных случаях можно применить более простой метод получения приближения.
102 в. В качестве иллюстрации метода рассмотрим его применение к нахождению последовательных приближений для эквипотенциальных поверхностей и линий
индукции в электрическом поле между двумя почти (но не совсем) плоскими и почти параллельными поверхностями, причём одна из них имеет нулевой потенциал, а другая - единичный.Пусть уравнения этих поверхностей имеют вид
z
1
=
f
1
(x,y)
=
a
(19)
для поверхности с нулевым потенциалом и
z
2
=
f
2
(x,y)
=
b
(20)
для поверхности с единичным потенциалом. Здесь a и b - заданные функции от x и y, причём b всегда больше a. Первые производные a и b по x и y считаются малыми величинами, вторыми и более высокими степенями и произведениями которых можно пренебречь.
Предположим сначала, что линии индукции параллельны оси z. Тогда
f=0,
g=0,
dh/dz=0
.
(21)
Таким образом, h постоянно вдоль каждой отдельной линии индукции и
=
– 4
z
a
h
dz
=
– 4h
(z-a)
.
(22)
При z=b =1, так что
h
=-
1
4(b-a)
(23)
и
=(z-a)/(b-a)
.
(24)
Таким образом, мы получили первое приближение для потенциала, дающее систему эквипотенциальных поверхностей, равноотстоящих друг от друга в направлении, параллельном z.
Для получения второго приближения для линий индукции примем, что они всюду нормальны к эквипотенциальным поверхностям, определяемым уравнением (24).
Это условие эквивалентно соотношениям
4f
=
d
dx
,
4g
=
d
dy
,
4h
=
d
dz
,
(25)
где определяется требованием, чтобы в каждой точке поля выполнялось условие
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
(26)
и чтобы криволинейный интеграл
4
f
dx
ds
+
g
dy
ds
+
h
dz
ds
ds
,
(27)
взятый вдоль любой линии индукции от поверхности a до поверхности b, был равен -1.
Положим
=
1+A
+
B(z-a)
+
C(z-a)^2
(28)
и будем пренебрегать степенями и произведениями A, B, C, пренебрежём также на данном этапе степенями и произведениями первых производных от a и b.