Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
–
0
)
.
(1)
Если W - энергия системы при фактическом распределении заряда, то
W
=
e
1
(
1
–
0
)/2
,
(2)
так что
q
=
2W
(1– 0)^2
=
e1^2
2W
.
(3)
Чтобы
W
=
1
8
d
dx
^2
+
d
dy
^2
+
d
dz
^2
dx
dy
dz
(4)
по всему полю.
Поскольку мы показали (в п. 996), что W не может превышать W, ёмкость q не может быть больше 2W.
Чтобы найти нижнюю границу возможных значений ёмкости, рассмотрим любую систему значений f, g, h, удовлетворяющую уравнению
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
=
0,
(5)
и пусть
(
l
1
f
+
m
1
g
+
n
1
h
)
d
1
s
=
e
1
.
(6)
Вычислим теперь значение объёмного интеграла
W
D
=
2
(
f^2
+
g^2
+
h^2
)
dx
dy
dz
(7)
по всему полю.
Поскольку мы показали в п. 100 в, что W не может превышать WD, то ёмкость q не может быть меньше
e
1
^2
/
(2W
D
)
.
(8)
Проще всего найти совокупность функций f, g, h удовлетворяющую условик соленоидальности, приняв какое-то распределение заряда на s1 и на s0 так, чтобы суммарный заряд равнялся нулю, и рассчитав потенциал , соответствующий: этому распределению, и электрическую энергию такой системы.
Если теперь положить
f
=-
1
4
d
dx
,
g
=-
1
4
d
dy
,
h
=-
1
4
d
dz
,
то эти значения f, g, h будут удовлетворять условию соленоидальности.
Однако в этом случае можно найти WD и не производя объёмного интегрирования. Поскольку для этого решения ^2=0 во всех точках поля, то WD можно
выразить в виде поверхностного интегралаW
D
=
1
2
1
ds
1
+
1
2
0
ds
0
,
где первый интеграл берётся по поверхности s1, а второй - по s0.
Если поверхность s0 находится на бесконечно большом расстоянии от s1 то потенциал на ней равен нулю и второй член исчезает.
102 б. Приближённое решение любой задачи о распределении заряда на проводниках с заданными потенциалами может быть получено следующим образом.
Пусть s1– поверхность проводника или системы проводников, находящихся под потенциалом 1, а s0– поверхность всех остальных проводников, в том числе и полого проводника, охватывающего все остальные. Впрочем, этот последний проводник может в некоторых случаях находиться на бесконечно большом расстоянии от остальных.
Начнём с построения совокупности линий, прямых или кривых, идущих от s1 к s0.
Вдоль каждой из этих линий будем считать меняющимся от 1 на s1 до 0 на s0. Если P - точка на одной из таких линий (а s1 и s0– точки пересечения линии с поверхностями), то в качестве первого приближения можно положить 1=(Ps0/s1s0).
Таким образом, мы получаем первое приближение для функции 1 равной: единице на s1 и нулю на s0.
Рассчитанное по 1 значение W больше, чем W.
Теперь примем в качестве второго приближения для силовых линий
f
=
– p
d1
dx
,
g
=
– p
d1
dy
,
h
=
– p
d1
dz
.
(10)
Вектор с составляющими f, g, h нормален поверхностям постоянного 1. Определим значение p, потребовав, чтобы вектор f, g, h был соленоидальным. Мы придём к соотношению
p
d^21
dx^2
+
d^21
dy^2
+
d^21
dz^2
+
+
dp
dx
d1
dx
+
dp
dy
d1
dy
+
dp
dz
d1
dz
=
0.
(11)
Если провести от s1 к s0 линию, всюду нормальную к поверхностям постоянного 1, и обозначить через s длину, отсчитываемую от s0 по этой линии, то
R
dx
ds
=-
d1
dx
,
R
dy
ds
=-