Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
dx
^2
–
d
dy
^2
=
8p
zz
,
d
dx
d
dy
=
4p
xy
=
4p
yx
,
(14)
то
A
=
dpxx
dx
+
dpyx
dy
+
dpzx
dz
dx
dy
dz
,
(15)
где
Преобразуя объёмный интеграл по Теореме III, п. 21, получим
A
=
(
lp
xx
+
mp
yx
+
np
zx
)
ds
,
(16)
где ns - элемент любой замкнутой поверхности, охватывающий всю систему E1 но ни одной части системы E2, а l, m, n, - направляющие косинусы внешней нормали к ns.
Точно так же для составляющих силы, действующей на E1 по осям y и z, получим
B
=
(
lp
xy
+
mp
yy
+
np
zy
)
ds
,
(17)
C
=
(
lp
xz
+
mp
yz
+
np
zz
)
ds
,
(18)
Если в действительности воздействие системы E2 на E1 происходит непосредственно на расстоянии, без вмешательства какой-либо среды, то величины pxx и т. д. должны рассматриваться как простые сокращённые обозначения определённых математических выражений, не имеющие никакого физического смысла.
Но если принять, что взаимодействие между E2 и E1 осуществляется посредством напряжений в среде между ними, то, поскольку уравнения (16), (17), (18) дают составляющие результирующей силы, обусловленной действием извне на поверхность s напряжения, шесть компонент которого равны pxx и т.д., величины pxx и т. д. следует рассматривать как составляющие реально существующего в среде напряжения.
106. Чтобы получить более ясное представление о природе этого напряжения, изменим форму части поверхности s так, чтобы элемент ds стал частью эквипотенциальной поверхности. (Такое изменение поверхности всегда допустимо, если только при этом не исключается какая-либо часть E1 и не включается какая-либо часть E2).
Обозначим через наружную нормаль к ds. Пусть R=-(d/d) - напряжённость электрического поля в направлении , тогда (d/dx)=-Rl, (d/dy)=-Rm, (d/dz)=-Rn.
Таким образом, шесть составляющих напряжения равны
p
xx
=
1
8
R^2(l^2-m^2-n^2)
,
p
yz
=
1
4
R^2mn
,
p
yy
=
1
8
R^2(m^2-n^2-l^2)
,
p
zx
=
1
4
R^2nl
,
p
zz
=
1
8
R^2(n^2-l^2-m^2)
,
p
xy
=
1
4
R^2lm
.
Если a, b, c, -
составляющие силы, действующей на единицу площади элемента ds, тоa
=
lp
xx
+
mp
yx
+
mz
zx
=
1
8
R^2l
,
b
=
1
8
R^2m
,
c
=
1
8
R^2n
.
Таким образом, сила, с которой часть среды, расположенная по внешнюю сторону ds, действует на часть среды, находящуюся по внутреннюю сторону ds, нормальна к элементу площади ds и направлена наружу, т. е. является натяжением, подобным натяжению верёвки, и величина этой силы, приходящейся на единицу площади, равна R^2/8,
Пусть теперь элемент ds перпендикулярен пересекаемой им эквипотенциальной поверхности. В этом случае
l
d
dx
+
m
d
dy
+
n
d
dz
=
0.
(19)
Далее:
8
(
lp
xx
+
mp
yx
+
np
zx
)
=
l
d
dx
^2
–
d
dy
^2
–
d
dz
^2
+
+
2m
d
dx
d
dy
+
2n
d
dx
d
dz
.
(20)
Умножив (19) на 2(d/dx) и вычтя из (20), найдём
8
(
lp
xx
+
mp
yx
+
np
zx
)
=-
l
d
dx
^2
–
d
dy
^2
–
d
dz
^2
=
– lR^2
.
(21)
Таким образом, составляющие натяжения, действующего на единицу площади элемента ds равны
a
=-
1
8
R^2l
,
b
=-
1