Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
F(
D
,
E
,
D
,
E
,
D
,
E
,…)
=
0.
Мы сейчас не будем рассматривать соотношений такого более общего вида и ограничимся случаем, когда D является линейной векторной функцией от E.
Самый общий вид такого соотношения может быть записан в виде 4D=(E), где через мы будем всюду в нашем исследовании обозначать линейную векторную функцию. Таким образом, составляющие являются линейными однородными функциями от составляющих D и могут быть записаны в виде
4
f
=
K
xx
P
+
K
xy
Q
+
K
xz
R
,
4
g
=
K
yx
P
+
K
yy
Q
+
K
yz
R
,
4
h
=
K
zx
P
+
K
zy
Q
+
K
zz
R
,
где
В самом общем виде в линейную векторную функцию входят девять независимых коэффициентов. Если коэффициенты с одинаковой парой индексов равны между собой, то такая функция называется самосопряжённой.
Если выразить E через D, то получится соотношение типа E=4– 1(D), т. е.
P
=
4(
k
xx
f
+
k
yx
g
+
k
zx
h
),
Q
=
4(
k
xy
f
+
k
yy
g
+
k
zy
h
),
R
=
4(
k
xz
f
+
k
yz
g
+
k
zz
h
).
101 e. Работа, совершаемая в единице объёма среды электродвижущей напряжённостью с составляющими P, Q, R при создании смещения с составляющими df, dg, dh равна
dW
=
+
Qdg
+
Rdh
.
Поскольку диэлектрик, в котором имеет место электрическое смещение, является консервативной системой, то W должно быть функцией f, g, h, а поскольку f, g, h могут меняться независимо, то
P
dW
df
,
Q
dW
dg
,
R
dW
dh
.
Отсюда следует, что
dP
dg
=
d^2W
dgdf
=
d^2W
dfdg
=
dQ
df
.
Ho dP/dg=4kyx– коэффициент передав выражении для P, a dQ/df=4kyx– коэффициент перед f в выражении для Q.
Таким образом, если диэлектрическая среда является консервативной системой (а
мы знаем, что это так, потому что её энергия может сохраняться неограниченно долго), то kxy=kyx т.е. – 1– самосопряжённая функция.Отсюда следует, что и - самосопряжённая функция, т. е. Kxy=Kyx.
101 ж. Следовательно, выражение для энергии можно представить в любой из следующих форм:
W
E
1
8
=
[
K
xx
P^2
+
K
yy
Q^2
+
K
zz
R^2
+
2K
yz
QR
+
+
2K
zx
RP
+
2K
xy
PQ
]
dx
dy
dz
.
или
W
D
=
2
[
k
xx
f^2
+
k
yy
g^2
+
k
zz
h^2
+
2k
yz
gh
+
+
2k
zx
hf
+
2k
xy
fh
]
dx
dy
dz
,
где индекс указывает на вектор, через который выражается W. Если индекс не указан, то подразумевается, что энергия выражена через оба вектора.
Таким образом, мы имеем всего шесть различных выражений для энергии электрического поля. Три из них содержат заряды и потенциалы поверхностей проводников и приведены в п. 87. Три других выражения являются объёмными интегралами по всему электрическому полю и содержат составляющие электродвижущей напряжённости, или электрического смещения, или и те и другие.
Поэтому первые три интеграла относятся к теории взаимодействия на расстоянии, а три последних - к теории воздействия через посредство промежуточной среды. Их можно представить в виде
W
=-
1
2
S.DE
d
,
W
E
=-
2
S.E(E)
d
,
W
D
=-
1
8
S.D
– 1
(D)
d
.
101 з. Чтобы обобщить Теорему Грина на случай неоднородной анизотропной среды, достаточно лишь положить в Теореме III, п. 21,
X
=
K
xx
d
dx
+
K
xy
d
dy
+
K
xz
d
dz
,
Y
=
K
yx
d
dx
+
K
yy