Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
d^3
dy^3
+…
,
(60)
2
– 1
D
C
=
d
dx
–
(-1)
1·2
d– 2
dx– 2
d^2
dy^2
+…
.
(61)
Мы будем также писать
dn-
dzn-
D
S
=
D
S
n
и
dn-
dzn-
D
C
=
D
C
n
,
(62)
так
D
S
n
и
D
C
n
обозначают операции дифференцирования по n осям, из которых n- совпадают с осью z, а остальные расположены под равными углами друг к другу в плоскости xy, причём обозначение
D
S
n
применяется, если ось y совпадает с одной из этих осей, а
D
C
n
– когда ось y делит пополам угол между осями.
Обе тессеральные поверхностные гармоники порядка n типа можно теперь представить в виде
Y
S
n
=
(-1)
n
1
n!
r
n+1
D
S
n
,
(63)
Y
C
n
=
(-1)
n
1
n!
r
n+1
D
C
n
,
(64)
Положив =cos , =sin , ^2=x^2+y^2, r=+z^2, так что z=r, =r, x= cos, y= sin, получим
D
S
1
r
=
(-1)
(2)!
22!
i(
–
)
1
r2+1
,
(65)
D
C
1
r
=
(-1)
(2)!
22!
(
+
)
1
r2+1
,
(66)
где можно положить
i
2
(
–
)
=
sin
,
1
2
(
+
)
=
cos
.
(67)
Остаётся лишь продифференцировать по z что мы и проделаем, выразив результат либо через r и z, либо как однородную функцию от z и , делённую на некоторую степень r:
dn-
dzn-
1
r2+1
=
(-1)
n-
(2n)!
2nn!
2!
(2)!
1
r2n+1
x
x
z
n-
–
(n-)(n--1)
2(2n-1)
z
n--2
r
2
(68)
или
dn-
dzn-
1
r2+1
=
(-1)
n-
(n+)
(2)!
1
r2n+1
x
x
z
n-
–
(n-)(n--1)
2(2n-1)
z
n--2
2
.
(69)
Если
ввестиn
=
n-
–
(n-)(n--1)
2(2n-1)
n--2
+
+
(n-)(n--1)(n--2)(n--3)
2·4·(2n-1)(2n-3)
n--4
– …
(70)
и
n
=
n-
–
(n-)(n--1)
4(+1)
n--2
2
+
+
(n-)(n--1)(n--2)(n--3)
4·8·(+1)(+2)
n--4
4
– …
,
(71)
то
n
=
2n-n!(n+)!
(2n)!!
n
,
(72)
так что обе эти функции отличаются лишь постоянным множителем.
Теперь мы можем выразить обе тессеральные гармоники порядка n типа через или :
Y
S
n
=
(2n)!
2n+n!n!
n
2sin
=
(n+)!
22n!!
n
2sin
,
(73)
Y
C
n
=
(2n)!
2n+n!n!
n
2cos
=
(n+)!
22n!!
n
2cos
.
(74)
Следует учесть, что если =0 то sin =0, а cos =1.
Для каждого значения от 1 до n включительно имеются две гармоники, но при =0
Y
S
n
=
0, а
Y
C
n
=
P
n
– зональная гармоника. Таким образом, полное число гармоник порядка n равно 2n+1, как и должно быть.