Квантовая механика и интегралы по траекториям

X

_1k

=

exp

i

h

4

j

*

1k

a

_1k

+

4

j

_1k

a

*

1k

+

+

1

2

a

*

1k

a

_1k

–

k^2c^2

2

a

*

1k

a

_1k

hkc

2

dt

Da

_1k

=

=

exp

–

4

2h

j

_1k

(t)

j

*

1k

(s)

1

2kc

e

^{– ikc|t-s|}

dt

ds

.

(9.63)

С таким типом интегралов по траекториям мы уже неоднократно встречались, если не считать некоторого усложнения, обусловленного комплексным характером переменных, от которых сначала нужно перейти к действительным переменным. Интеграл точно такого же типа рассматривался в § 9 гл. 8 с той лишь разницей, что функция (t) в формуле (8.136) теперь заменяется на =4j_1k и равно kc тогда окончательное выражение (9.63) совпадёт с формулой (8.138). Произведение интегралов типа (9.63) для всех k и обеих поляризаций даёт функционал X=exp(iI/h), где

I=

1

2

^k

[

j

_1k

(t)

j

*

1k

(s)

+

j

_2k

(t)

j

*

2k

(s)

]

4

2kc

e

^{– ikc|t-s|}

dt

ds

.

(9.64)

Таким образом, вопрос о переходе вакуума в вакуум полностью решается методом интегрирования лишь по траекториям переменных, относящихся к веществу:

амплитуда

=

exp

i

h

(S

_част

+I)

Dq(t)

.

(9.65)

Обсудим ряд следствий, вытекающих из этого результата (случай, когда начальное или конечное состояние отлично от вакуумного, разбирается в гл. 10 ).

Основной вывод имеет простой смысл: функцией действия для вещества является не S_част, а модифицированная функция S'_част=S_част+I. Это изменение обусловлено взаимодействием вещества с электромагнитным полем.

Такое толкование не является строго классическим, так как функция действия I — комплексная. Можно показать, что законы классической физики, которые получаются из принципа наименьшего действия при использовании только действительной части S'_част в точности совпадают с комбинацией уравнений Максвелла и законов Ньютона. Однако при этом никак не учитывается то обстоятельство, что решения уравнений Максвелла берутся только в виде запаздывающих волн (в самом деле, условие выбора запаздывающих волн нельзя выразить с помощью принципа наименьшего действия, если действие выражается только через координаты частиц; такая функция действия соответствует полусумме опережающего и запаздывающего решений [6]).

Займёмся теперь исследованием нашего полного квантовомеханического комплексного выражения для I, в котором учитывается условие запаздывания.

Первое приближение теории возмущений. Точное вычисление интеграла по q является слишком сложной задачей, поэтому воспользуемся тем, что в выражения для токов в действии I входит электрический заряд частиц e. Действие I пропорционально e^2 или в безразмерной форме — постоянной тонкой структуры

e^2

hc

=

1

137,039

— весьма малой величине, точное значение которой берётся из опыта. Можно ожидать, что эффекты, обусловленные действием I, малы. Мы уже знаем, что, например, значения атомных уровней теория Шрёдингера даёт вполне точно, поэтому здесь могут быть лишь малые ошибки, возникающие из-за пренебрежения действием I.

Рассмотрим эффекты, обусловленные действием I, в первом порядке по e^2, соответственно — во втором порядке по e, используя первоначальное выражение действия в виде (9.32). Введём _MM — амплитуду вероятности перехода материальной системы из начального состояния M в такое же конечное состояние подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 6. Если пренебречь вкладом от I, то в нулевом порядке будем иметь

_MM⁰

=

e

^{– (i/h)E}

M

^t

.

(9.66)

Член первого порядка

_MM¹

=

1

h

_tf

^t_i

*

M

(q

_f

)

e

^{(i/h)S_част}

I

_M

(q

_i

)

Dq(t)

=

=-

1

2h

^k

*

M

(q

_f

)

e

^{(i/h)S_част}

[

j

*

1k

(t)

j

_1k

(s)

+

+

j

*

2k

(t)

j

_2k

(s)

]

4

2kc

e

^{– ikc|t-s|}

dt

ds

_M

(q

_i

)

Dq(t)

.

(9.67)

Будем считать, что t>s это даёт коэффициент, равный двум. Аналогичное выражение уже вычислялось в § 1 гл. 5. Для данного случая получаем

_MM¹

=-

i

h

(

E)

T

e

^{– iE}

M

^T/h

,

где

E

=

i

^N

^k

4

2kc

[

(j

*

1k

)

_MN

(j

_1k

)

_NM

+

(j

*

2k

)

_MN

(j

_2k

)

_NM

]x

x