Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(9.50)
или, в другом виде,
V
fi
=
k
8lc
h
1/2
*
0
a
1l
a
*
1k
0
k
da
1k
*
N
j
1k
M
dq
+
+
k
8lc
h
1/2
*
0
a
1l
a
1k
0
k
da
1k
*
N
j
*
1k
M
dq
,
(9.51)
так
*
a
a
1l
a
*
1k
0
k
da
1k
=0
есть нуль во всех случаях, за исключением одного, а именно при k=l, когда он равен h/2lc. Обозначим матричный элемент *NjMdq как (j)NM. Тогда матричный элемент - Vfi запишется в виде 2h/lc(f1l)NM. Вероятность перехода за единицу времени при этом равна [ср. формулу (6.94)]
2
h
2h
lc
|j
1l
|
2
NM
(
E
M
–
E
N
–
hlc
).
(9.52)
Обычно мы не задаёмся вопросом об излучении какого-либо определённого фотона, а хотим вместо этого найти вероятность излучения произвольного фотона (с поляризацией 1) в некоторый малый телесный угол d. Для этого необходимо просуммировать l по всем значениям, соответствующим этому направлению. Число значений l в единице объёма есть dl/(2)^3; если направление l задано, то мы должны взять интеграл по dl, записав dl/(2)^3 в виде l^2dld/(2)^3. Таким образом, вероятность перехода за единицу времени (1 сек) получим в виде
dP
dt
=
(2)^2
lc
|j
1l
|
2
NM
(
E
M
–
E
N
–
hlc
)
l^2
dld
(2)^3
.
(9.53)
Интегрирование по l даёт выражение
dP
dt
=
2hc^3
|j
1l
|
2
NM
d
,
(9.54)
характеризующее вероятность излучения света с поляризацией 1 по направлению l в телесный угол d. Частота излучаемого света
=lc=
EM– EN
h
.
(9.55)
Задача 9.9. Для сложной системы в нерелятивистском случае имеем
(j
1k
)
NM
=
b
(
e
b
e·q
b
e
– ik·qb
)
NM
,
(9.56)
где e —
единичный вектор в направлении поляризации света, eb и qb — заряд и радиус-вектор частицы b. Допустим, что длина волны света много больше размеров атома, т.е. квадрат модуля волновой функции, описывающей положение электрона b, спадает до нуля на расстоянии, много меньшем чем 1/k. Покажите, что при этом экспоненту exp (ik·qb/h) можно аппроксимировать единицей и записать матричный элемент какj
1k,NM
=
ie·
NM
,
(9.57)
где
NM
=
b
(
e
b
q
b
)
NM
.
(9.58)
Функция NM называется матричным элементом электрического дипольного момента атома, а приближение, использованное при выводе соотношения (9.57), называется дипольным приближением. Покажите, что полная вероятность излучения света в произвольном направлении за единицу времени равна
dP
dt
=
4^3
3hc^3
|
NM
|^2
.
(9.59)
[Для этого нужно проинтегрировать выражение (9.54) по всем направлениям с учётом того, что векторы e и k перпендикулярны и что существуют два возможных направления поляризации.]
Исключение переменных электромагнитного поля. Поле излучения представляется квадратичным функционалом действия, поэтому возникает возможность провести интегрирование по всем переменным электромагнитного поля. Именно это мы здесь и проделаем. Нам нужно выполнить интегрирование по всем переменным a1k и a2k в выражении (9.44). Для этого нужно ещё задать начальное и конечное состояния поля излучения. Сначала выберем наиболее простой случай, считая, что в обоих случаях мы имеем состояние вакуума и все осцилляторы поля излучения переходят из состояний с нулевым числом фотонов в такие же состояния. Амплитуду перехода при этом можно записать как
амплитуда
=
e
(i/h)Sчаст
X[q]
Dq
,
(9.60)
где
X[q]
=
e
(i/h)(Sвзаим+Sполе)
k
da
1k
da
2k
(9.61)
—функционал от переменных q, которые входят в первую часть равенства через токи j. Так как действие представляется в виде суммы вкладов от каждой моды
(S
1k
+S
2k
)
,
k
где
S
=
4
(ja*+j*a)
+
1
2
a*a
–
k^2c^2
2
a*a
–
hkc
2
dt
(9.62)
то ясно, что функционал X представляет собой произведение соответствующих сомножителей. Интеграл для произвольной моды можно записать как