Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Задача 9.7. Покажите, что для вакуумного состояния среднее значение величины a*1ka1l равно (h/2kc)kl. Выведите формулу для среднего значения величины (a*1ka1k)r, где r — целое число, и укажите, как, пользуясь этой формулой, получить среднее значение произведения (a*1ka1k)r (a*1pa1p)s при p/=k. Покажите, что среднее значение величины (a1k)^2 или (a*1k)^2 и среднее значение произведения
Задача 9.8. Если состояние определяется единственным фотоном, который находится в состоянии 1k, все множители в волновой функции имеют вид 0, за исключением одного, равного 1. Для осциллятора при этом выполняется равенство 1(q)=q0(q). Волновая функция, представляющая возбуждённую волну, записывается в виде линейной комбинации: 1) волновой функции состояния с возбуждённой косинусоидальной модой и 2) умноженной на i волновой функции состояния с возбуждённой синусоидальной модой. Используя это, покажите, что волновая функция однофотонного состояния 1k имеет вид a*1k0. Она не нормирована. Квадрат нормировочной постоянной *0a1ka*1k0 (или ожидаемое значение величины a1ka*1k для вакуума), как мы видели в предыдущей, задаче, есть h/2kc. Отсюда следует, что нормированная волновая функция однофотонного состояния представляется в виде 2kc/ha*1k0.
§ 4. Взаимодействие поля с веществом
С формальной точки зрения взаимодействие поля излучения с веществом рассмотреть совсем не трудно. Функция действия, представленная формулами (9.30), (9.31) и (9.33), очевидно, соответствует взаимодействию материальной системы с осцилляторами поля излучения, и в этом случае амплитуду следует искать с помощью такого соотношения:
амплитуда
=
exp
i
h
S
част
+S
взаим
+S
поле
i,k
x
x
Dq
i
Da
1k
Da
2k
.
(9.44)
Интегрирование по координатам осцилляторов поля излучения может быть выполнено сразу же, так как все они входят в выражение (9.44) лишь квадратичным образом. Это интегрирование и будет проделано далее.
Излучение атома. Одна из трудностей рассматриваемой проблемы заключается в громоздкости выражений, что обусловлено большим числом координат и импульсов. Поэтому, чтобы уяснить суть дела, начнём с простого случая. Будем решать задачу о вероятности излучения света отдельным атомом, применяя теорию возмущений (предполагается, что взаимодействие света и вещества, которому соответствует Sвзаим мало и разложение ведётся только до членов первого порядка малости).
Если пренебречь функцией действия Sвзаим то поле излучения и вещество можно рассматривать как независимые системы. Допустим, что состояния свободного атома с волновыми функциями N(q) имеют энергии eN, где N=0, 1, 2 …, а символом q обозначены радиусы-векторы qi всех частиц атома. Состояние поля излучения можно определить заданием всех целочисленных значений n1k и n2k.
Энергетические уровни полной системы (излучение плюс вещество при отсутствии взаимодействия
между ними) равныE
=
e
N
+
k
(
n
1k
+
n
2k
)
hkc
.
(9.45)
Волновая функция этого состояния записывается в виде произведения
=
N
(q)
(n
1k
,n
2k
)
,
(9.46)
где (n1k,n2k) — волновая функция поля излучения (произведение волновых функций гармонических осцилляторов).
Чтобы рассмотреть излучение фотона атомом, выберем такое начальное состояние, когда атом находится на некотором уровне M, а внешних фотонов нет совсем (все числа n1k и n2k равны нулю). Соответствующая волновая функция равна
i
=
M
(q)
0
,
(9.47)
где 0 берётся в виде (9.43). В конечном состоянии атом находится на другом уровне N и, кроме того, имеется один фотон, скажем, с импульсом l и поляризацией 1. В соответствии с задачей 9.8 волновая функция поля излучения имеет вид a*1l0, поэтому волновая функция конечного состояния всей системы есть
f
=
2lc
h
1/2
N
(q)
a
*
1l
0
(9.48)
Чтобы найти вероятность перехода за единицу времени (с точностью первого порядка), необходимо в соответствии с формулой (6.79) вычислить матричный элемент Vfi возмущающего потенциала между этими состояниями. Функция действия для возмущения определяется формулой (9.32), а соответствующий ей потенциал имеет вид
V
=
4
(
a
*
1k
j
1k
+
a
1k
j
*
1k
),
k
(9.49)
где, как и в задаче 9.2, ток j1k зависит от переменных, связанных с атомом. Этот матричный элемент равен
V
fi
=
*
N
*
0
2lc
h
1/2
a
1l
x
x
4
(
a
*
1k
j
1k
+
a
1k
j
*
1k
)
M
0
dq
da
1k
,
k
k