Квантовая механика и интегралы по траекториям

⁰

e

^{(i/h)(E_M– E_N– hkc)}

d

=

^N

4h

[

|(j

_k

)

_NM

|^2

+

+

|(j

_2k

)

_NM

|^2

][

2kc

(E

_M

– E

_N

– khc+i)]

^{– 1}

d^3k

(2)^3

.

(9.68)

Выделив в этом выражении действительную и мнимую части, можно записать его в виде

E

=

E

–

ih

2

.

Действительная часть E соответствует малому сдвигу энергетических уровней, впервые экспериментально обнаруженному Лэмбом и Ризерфордом — так называемому лэмбовскому сдвигу. Этот сдвиг составляет

E

=

^N

[

|(j

_1k

)

_NM

|^2

+

+

|(j

_2k

)

_NM

|^2

]

P.P.

(E

_M

– E

_N

– hkc)

^{– 1}

4h

2kc

d^3k

(2)^3

.

(9.69)

Мнимая часть E имеет вид

h

2

=

^N

[

|(j

_1k

)

_NM

|^2

+

+

|(j

_2k

)

_NM

|^2

]

(E

_M

– E

_N

– hkc)

4h

2kc

d^3k

(2)^3

.

(9.70)

Амплитуда вероятности того, что атом остаётся в возбуждённом состоянии и не испускает фотонов, записывается теперь как exp [-i(E_m+E-i/2)T/h] и соответствующая вероятность равна exp (-T). Таким образом, вероятность того, что атом остаётся в состоянии M, экспоненциально уменьшается в зависимости от величины декремента затухания .

Физически это уменьшение вероятности объясняется тем, что атом в состоянии M может испустить фотон и перейти в более низкое состояние N. Сравнивая выражения (9.53) и (9.70), мы убеждаемся, что действительно есть полная вероятность перехода за единицу времени из состояния M во все нижележащие состояния N.

§ 5. Электрон в поле излучения

Поправка к энергии. Чтобы лучше понять смысл электромагнитной поправки к энергии, рассмотрим очень простой пример: систему, состоящую всего лишь из одного движущегося заряда, положение которого характеризуется вектором R (например, атом водорода с бесконечно тяжёлым ядром или свободный электрон в пустом пространстве). Тогда ток j=eR exp(ik·R/h).

В данном случае ток j содержит R, поэтому в соответствии с § 3 гл. 7 при рассмотрении членов второго порядка малости нам следует проявить некоторую осторожность. Поправка к энергии E содержит дополнительный член, связанный с квадратом скорости R^2. Выражая R (подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 7) через оператор импульса p, получаем

E

₁

=

^N

d^3k

2kc (2)^3

(

|p

₁

e

^{– ik·R}

|

2

NM

+

+

|p

₂

e

^{– ik·R}

|

2

NM

)

4e^2h

m^2(E_M– E_N– hkc)

+

4e^2

m

h

2kc

d^3k

(2)^3

.

(9.71)

Задача 9.10. Почему нет необходимости точно вычислять в матричных элементах экспоненту 1/2 [p₁ exp(-ik·R/h) + exp(-ik·R/h)p₁]?

Рассмотрим теперь простейший случай покоящегося свободного электрона. В этом случае поправка к энергии, связанная с полем, в любом состоянии представляет собой поправку к энергии покоя, или, как это следует из теории относительности,— к массе m=E_R/c^2. Это и есть так называемая электромагнитная масса электрона. Состояния покоящейся свободной частицы описываются плоскими волнами. Если M и N — импульсы электрона соответственно в состояниях p_M и p_N, то матричный элемент [p₁ exp(-ik·R/h)_NM] всегда равен нулю, за исключением случая p_N=p_M– k он равен p_1N Поэтому матричный элемент, соответствующий первоначально покоившемуся электрону, равен нулю, а поправка E_R здесь есть не что иное, как последний расходящийся интеграл в выражении (9.71).

Затруднения с короткими волнами. Однако это ещё не все. Когда мы выделяли в S_c член, содержащий _kk/2k^2, уже указывалось, что этот член соответствует взаимодействию точечных зарядов

1/2

^i,j

e

_i

e

_j

|q

_i

– q

_j

|

^{– 1}

,

однако не было отмечено, что при этом в сумму должны включаться также и расходящиеся члены с i=j. Действительно, для отдельной частицы _k=e exp(ik·q), поэтому 1/2 |_k|^2/k^2 = 4e^2/2k^2 и в выражение S_c войдёт интеграл 4e^2( 1/2 k^2)d^3k/(2)^3. Здесь и выше в E_R расходимости не сокращаются, и мы встречаемся с серьёзной трудностью: интегралы по импульсу k оказываются квадратично расходящимися, квантовая электродинамика даёт бессмысленный результат.

Правда, наше рассмотрение заряженной частицы было нерелятивистским. Однако релятивистское рассмотрение вещества (квантовая электродинамика при этом не изменяется) не избавляет нас от расходящихся результатов, хотя порядок расходимости может при этом измениться.

Для частицы с нулевым спином, подобной -мезону, степень расходимости не изменяется и по-прежнему остаётся квадратичной. Здесь, однако, мы имеем возможность определить экспериментальное значение поправки к массе. Насколько известно, заряженный и нейтральный -мезоны различаются только зарядом, т.е. по-разному взаимодействуют с электромагнитным полем, оставаясь неразличимыми при всех других взаимодействиях. Поэтому можно предполагать, что различие масс заряженного и нейтрального -мезонов (их массы равны соответственно m = 273,2 и 264,2 электронных масс), составляющее 9,0 электронных масс, равно 0,034 m = 4,6 Мэв, т.е. равно энергии, заключённой в электромагнитном поле.

Ограничим верхние пределы интегрирования в расходящихся интегралах некоторым импульсом k_макс (такая операция, к сожалению, релятивистски неинвариантна). Тогда последний член соотношения (9.71), который в случае hk_макс/c>>m значительно превосходит два других, даст значение энергии, равное e^2(k_макс)^2/2mc. Если это значение приравнять величине m_±– m₀ = 0,034 mc^2, т.е. положить (e^2/2hc)(hk_макс/mc)^2 = 0,034, то для k_макс получим оценку