Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
, y
a
, z
a
, t
a
)=
=
b
a
exp
i
h
tb
ta
m
2
(x^2+
y^2+
z^2)
dt
Dx(t)Dy(t)Dz(t).
(3.69)
Дифференциал здесь записан в виде Dx(t)Dy(t)Dz(t). Если время разделено на промежутки , то положение частицы в момент времени ti задаётся тремя переменными xi, yi, zi
Если используется определение (2.22), то в каждом временном интервале для каждой из переменных должен быть введён нормировочный множитель A [см. формулу (2.21)]. Поэтому если весь интервал времени разделён на N промежутков длительностью , то в интеграл должен быть включён множитель A– 3N.
Ещё один пример ситуации с несколькими переменными дают две взаимодействующие системы. Предположим, что одна система представляет собой частицу массой m, координата которой x, а другая система — частицу массой M и с координатой X. Допустим, что эти две системы взаимодействуют посредством потенциала V(x,X). Действие в этом случае равно
S[x(t),X(t)]=
tb
ta
m
2
x^2+
M
2
X^2-
V(x,X)
dt,
(3.70)
так что ядро имеет вид
K(
x
b
, X
b
, t
b
;
x
a
, X
a
, t
a
)=
=
b
a
b
a
exp
i
h
S[x(t),X(t)]
Dx(t)DX(t).
(3.71)
Это обобщение соотношения (2.25) можно истолковать математически как движение точки в некотором абстрактном двумерном пространстве x, X. Однако значительно легче представлять это движение физически, рассматривая его как движение двух отдельных частиц, координаты которых соответственно x и X. Тогда K является ядром для перехода частицы массы m из пространственно-временной точки (xa,ta) в точку (xb,tb) и частицы массы M из точки (Xa,ta) в точку (Xb,tb). Ядро K равно в этом случае сумме амплитуд вероятности, взятой по всем возможным траекториям обеих частиц между соответствующими конечными точками. Амплитуда вероятности, отвечающая какой-либо частной комбинации траекторий (т.е. определённым x и X), равна экспоненте eiS/h, где S — действие, определяемое выражением (3.70). С математической точки зрения амплитуда вероятности представляет собой функционал от двух независимых переменных x и X, и интеграл берётся по обеим этим функциям.
§ 8. Системы с разделяющимися переменными
Допустим, что у нас имеются две частицы, которые движутся в одном или, быть может, нескольких измерениях. Пусть вектор x — совокупность координат одной частицы, а вектор X — совокупность координат другой (все, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что описание переносится теперь на трёхмерное пространство). Может оказаться, что полное действие разбивается на две части:
S[x,X]=
S
x
[x]+
S
X
[X],
(3.72)
где
в Sx входят только траектории x(t), а в SX — только траектории X(t). Это и есть тот случай, когда две частицы не взаимодействуют.При этом ядро становится произведением двух сомножителей: одного, зависящего только от x, и другого, зависящего только от X:
K(
x
b
, X
b
, t
b
;
x
a
, X
a
, t
a
)=
=
b
a
b
a
exp
i
h
{S
x
[x]+S
X
[X]}
D^3x(t)D^3X(t)=
=
b
a
exp
i
h
S
x
[x]
Dx(t)
b
a
exp
i
h
S
X
[X]
DX(t)=
=
K
x
(
x
b
, t
b
;
x
a
, t
a
)
K
X
(
X
b
, t
b
;
X
a
, t
a
).
(3.73)
Ядро Kx здесь вычисляется так же, как если бы имелась только одна частица с координатой x, и аналогичным образом определяется ядро KX. Таким образом, в случае двух независимых невзаимодействующих систем амплитуда вероятности события с участием обеих систем представляет собой произведение двух не связанных друг с другом ядер. Они-то и являются теми ядрами, которые указывают на вклад этих частиц в полное событие.
В случае нескольких частиц волновая функция (x,X,…,t) определяется прямо по аналогии с соответствующим ядром и интерпретируется как амплитуда вероятности того, что в момент времени t одна частица находится в точке x, другая — в точке X и т.д. Квадрат модуля этой волновой функции представляет собой вероятность того, что одна частица находится в точке x, другая—в точке X и т. д. Соотношение (3.42), справедливое в одномерном случае, можно сразу же обобщить:
(x,X,…,t)
=
K
(x,X,…,t;x',X',…,t')x
x
(x',X',…,t')
dx'
dX'
,
(3.74)
где dx' — произведение стольких дифференциалов, сколько координат имеет пространство x'.
Как уже упоминалось выше, в случае двух независимых частиц, описываемых совокупностями координат x и X, ядро K является произведением двух функций, одна из которых зависит от x и t, а другая же — от X и t. Тем не менее это вовсе не означает, что волновая функция вообще есть такое произведение. В частном случае, когда в некоторый определённый момент времени является произведением функции от x на функцию от X, т.е. =f(x)g(X), то она останется таковой и всегда. Поскольку ядро K описывает независимое движение двух частиц, то каждый сомножитель будет изменяться, как и в случае одной отдельной подсистемы. Однако это лишь особый случай. Независимость частиц в настоящий момент вовсе не означает, что они всегда должны быть таковыми. В прошлом могло иметь место какое-то взаимодействие, которое приводило бы к тому, что функция уже не будет простым произведением.