Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
]
,
(3.59)
где T=tb– ta (см. задачу 2.2). Отметим, что вид функции F(T) полностью не определяется. Его можно найти, исходя из других соображений; в случае гармонического осциллятора он равен
F(T)=
m
2ih sin T
1/2
.
(3.60)
Задача 3.9. Найдите ядро для частицы во внешнем постоянном поле f, где её лагранжиан равен
L=
m
2
x^2+fx.
(3.61)
Результат
K=
m
2ihT
1/2
exp
i
h
m(xb– xa)^2
2T
+ 1/2 fT(x
a
+x
b
)-
fT^3
24
,
(3.62)
где T=tb– ta.
Задача 3.10. Лагранжиан для частицы с зарядом e и массой m в постоянном внешнем магнитном поле B, направленном по оси z,
L=
m
2
(x^2+y^2+z^2)+
eB
2c
(xy-yx).
(3.63)
Покажите, что соответствующее ядро имеет вид
K=
m
2ihT
3/2
T/2
sin T/2
exp
im
2h
(zb– za)^2
T
+
+
2
ctg
T
2
[(x
b
– x
a
)^2+
(y
b
– y
a
)^2]+
(x
a
y
b
–
x
b
y
a
)
,
(3.64)
где T=tb– ta и =eB/mc.
Задача 3.11. Предположим, что гармонический осциллятор в задаче 3.8 возмущается внешней силой f(t). Его лагранжиан
L=
m
2
x^2-
m^2
2
x^2+
f(t)x.
(3.65)
Покажите, что ядро определяется выражением
K=
m
2ih sin T
1/2
exp
i
h
S
кл
,
где
S
кл
=
m
2 sin T
(cos T)(x
2
b
+x
2
a
)-2x
b
x
a
+
+
2xb
m
tb
ta
f(t) sin (t-t
a
)dt+
2xa
m
tb
ta
f(t) sin (t
b
– t)dt-
–
2
m^2^2
tb
ta
t
ta
f(t)f(s) sin
(t
b
– t) sin
(s-t
a
)
dsdt
(3.66)
и T=tb– ta.
Последний
результат имеет большое значение для многих прикладных задач. В частности, он находит своё применение в квантовой электродинамике, так как электромагнитное поле может быть представлено в виде набора возмущаемых гармонических осцилляторов.Задача 3.12. Если волновая функция гармонического осциллятора при t=0
(x,0)=exp
–
m
2h
(x-a)^2
,
(3.67)
то, используя соотношение (3.42) и результаты задачи 3.8, покажите, что
(x,t)=exp
–
iT
2
–
m
2h
x^2-2axe
– iT
+ 1/2 a^2(1+e
– 2iT
)
(3.68)
и найдите распределение вероятности ||^2.
§ 7. Системы с многими переменными 1)
1) См. работу[4].
Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ x(t) обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат.
В качестве первого примера мы рассмотрим трёхмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями x(t), y(t) и z(t). В частности, для свободной частицы действие равно
m
2
tb
ta
[x(t)^2+
y(t)^2+
z(t)^2]
dt.
Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки (xa, ya, za) в момент времени ta в конечную точку (xb, yb, zb) и момент времени ta,
K(
x
b
, y
b
, z
b
, t
b
;
x
a