Квантовая механика и интегралы по траекториям

Если даже в первоначальной системе координат действие S и не оказывается простой суммой, то часто имеется некоторое преобразование (как, например, переход в систему центра масс и выделение внутренних координат), которое разделит переменные. Поскольку в квантовой механике действие используется в том же самом виде, что и в классической физике, то любое преобразование, разделяющее переменные в классической системе, разделит их и в соответствующей квантовомеханической системе. Таким образом, часть огромного аппарата классической физики можно непосредственно использовать и в квантовой механике. Такие преобразования очень важны, так как иметь дело с системой нескольких переменных трудно. Разделение переменных позволяет свести сложную задачу к ряду более простых.

§ 9. Интеграл по траекториям как функционал

Если задача описывается более чем одной переменной и если разделить эти переменные невозможно, то анализ обычно становится очень трудным. Ниже мы рассмотрим приближённые методы, применяемые в этом случае; сейчас же изложим один очень сильный метод, который иногда удаётся применить. Рассмотрим ядро, заданное выражением (3.71). Более подробно его можно записать как

K(b,a)

=

_b

_a

_b

_a

exp

i

h

t_b

t_a

m

2

x^2

dt+

i

h

t_b

t_a

M

2

X^2

dt+

+

i

h

t_b

t_a

V(x,X,t)

Dx(t)DX(t).

(3.75)

Предположим, что мы сначала выполнили интегрирование по траекториям X(t). Результат формально можно записать в виде

K(b,a)

=

_b

_a

exp

i

h

t_b

t_a

m

2

x^2

dt

T[x(t)]Dx(t),

(3.76)

где

T[x(t)]

_b

_a

exp

i

h

t_b

t_a

M

2

X^2+

V(x,X,t)

dtDX(t).

(3.77)

Полученные выражения интерпретируются следующим образом. Интегрирование по всем траекториям, возможным для частицы X, даёт функционал T. Функционал является числом и его величина зависит от вида всей функции. Например, ограниченная кривой площадь A=f(y)dy является функционалом этой кривой. Для того чтобы найти эту площадь, необходимо задать функцию (кривую). Функционал мы записываем в виде A[f(y)], чтобы показать, что A зависит от функции f(y). Мы не пишем A(f(y)), поскольку под такой записью можно понимать функцию от функции, т.е. считать, что A зависит только от того, какое значение принимает f в некоторой определённой точке y. Это не тот случай. Величина A[f(y)] зависит от вида всей функции f(y), но не зависит непосредственно от y.

Функционал, определённый выражением (3.77), представляет собой амплитуду вероятности того, что под воздействием потенциала V из точки X_a в точку X_b переходит лишь одна частица X. При вычислении этот потенциал берётся в предположении, что x фиксировано, в то время как X изменяется. Таким образом, это потенциал для частицы X, когда частица x движется вдоль некоторой определённой траектории. Ясно, что амплитуда T зависит от выбора траектории x(t), поэтому мы и записываем её в виде функционала от x(t). Полную амплитуду мы получим, просуммировав функционал, состоящий из произведения амплитуды T на ядро, отвечающее свободной частице, по всем траекториям x(t).

Таким образом, амплитуда K, как и все другие, представляет собой сумму амплитуд по всем возможным альтернативам. В свою очередь каждая из этих амплитуд является произведением двух: одной — отвечающей движению частицы X между заданными конечными точками, когда траектория x(t) фиксирована, и другой — амплитуды вероятности того, что частица x движется именно по этой фиксированной траектории. Конечная сумма по всем альтернативам становится суммой по всем траекториям x(t). Важно чётко усвоить эту концепцию, так как она содержит в себе один из фундаментальных принципов квантовой электродинамики, изложение которой займёт одну из последующих глав.

Разумеется, применять этот метод бесполезно, если нельзя никак — ни точно, ни приближённо — вычислить интеграл T для каждой из возможных траекторий x(t). Как мы уже видели (см. задачу 3.11), в одном случае, а именно когда X — гармонический осциллятор, он вычисляется точно. Это очень важный в практическом отношении случай. Например, когда поле, с которым взаимодействует частица, квантуется, то оно представляет собой осциллятор.

§ 10. Взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором

Рассмотрим теперь более подробно взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором. Пусть x — это координаты частицы, а X — координаты осциллятора. Соответствующее действие может быть записано как

S[x,X]=

S

₀

[x]

+

t_b

t_a

g[x(t),t]

X(t)dt

+

t_b

t_a

M

2

(X^2+^2X^2)

dt,

(3.78)

где S₀ — действие для частицы в отсутствие осциллятора. Ранее при обсуждении мы принимали, что это действие соответствует случаю свободной частицы. Однако такое предположение не является необходимым; движение частицы, описываемое координатами x, может усложняться благодаря наличию потенциала. Так, например, действие могло бы иметь вид

S

₀

[x]

=

t_b

t_a

m

2

x^2-

V(x,t)

dt.

(3.79)

Второй член в выражении (3.78) отвечает взаимодействию частицы и осциллятора. Заметим, что этот член линеен относительно X. То, что мы пренебрегаем зависимостью от X, не означает какой-либо утраты общности рассмотрения, поскольку при наличии такого члена от него всегда можно избавиться интегрированием по частям. Коэффициент g назовём коэффициентом связи. Мы уже указывали на его зависимость от x(t), однако он может зависеть также и от других переменных, например от x(t). Поскольку мы рассматриваем общий случай, точный вид этого коэффициента не существен. Последний член в выражении (3.78), очевидно, представляет собой действие для одного лишь осциллятора. Объединив его со вторым членом, мы можем записать функционал (3.77) как