Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
T[x(t)]
=
b
a
exp
i
h
tb
ta
M
2
(X^2+^2X^2)
+
+
g[x(t),t]
X(t)
dt
DX(t).
(3.80)
Поскольку речь теперь идёт об X, ситуация становится подобной случаю возмущаемого гармонического осциллятора. Возмущающая
Для иллюстрации мы возьмём (имея в виду упростить выражение) частный случай, когда начальное и конечное значения координат осциллятора равны нулю: Xb=Xa=0 (такое рассмотрение легко обобщается). Тогда, согласно результату задачи 3.11, имеем
T
=
m
2hi sin T
1/2
exp
i
hm sin T
tb
ta
tb
ta
g[x(t),t]
g[x(s),s]
x
x
sin (t
b
– t)
sin (s-t
a
)
ds
dt
.
(3.81)
Следовательно, ядро в данном случае может быть записано как
K(b,a)
=
m
2hi sin T
1/2
b
a
exp
i
h
m
2
tb
ta
x(t)^2
dt-
–
1
m sin T
tb
ta
tb
ta
g[x(t),t]
g[x(s),s]
x
x
sin (t
a
– t)
sin (s-t
a
)
ds
dt
Dx(t).
(3.82)
В случае произвольных значений Xa, Xb выражение для K будет аналогичным, но более сложным.
Этот интеграл по траекториям сложнее любого из тех, с которыми мы до сих пор сталкивались, и продвинуться дальше в его вычислении невозможно до тех пор, пока мы не рассмотрим (в последующих главах) различные приближённые методы. Заметим лишь, что подынтегральное выражение по-прежнему можно записывать как exp[(i/h)/S], однако действие S теперь уже не является функцией только переменных x, x и t, оно содержит произведение величин, определяемых в два различных момента времени: s и t. Разделение на прошлое и будущее уже невозможно. Обусловлено это тем, что в некоторый предыдущий момент времени частица действует на осциллятор, который в дальнейшем сам воздействует на эту же частицу. Нельзя ввести никакую волновую функцию (x,t), выражающую амплитуду вероятности того, что в момент времени t частица находится в заданной точке x. Подобной амплитуды было бы недостаточно для предсказания будущего, поскольку для этого нужно знать также, что происходит с осциллятором в любой момент времени t.
§11. Вычисление интегралов по траекториям с помощью рядов Фурье
Рассмотрим интеграл по траекториям для случая гармонического осциллятора (см. задачу 3.8). Этот интеграл имеет вид
K(b,a)
=
b
a
exp
i
h
tb
ta
m
2
(x^2-^2x^2)
dt
Dx(t).
(3.83)
С помощью методов, изложенных в § 5, этот интеграл по траекториям, как и в задаче 3.8, можно свести к произведению двух функций. Наиболее важная из этих функций зависит от классической траектории гармонического осциллятора и содержится в формуле (3.59). Другая функция, зависящая только от временного интеграла, приведена в равенстве (3.60). Эту функцию можно записать как
F(T)
=
0
0
exp
i
h
T
0
m
2
(y^2-^2y^2)
dt
Dy(t).
(3.84)
Мы вычислим этот интеграл, во всяком случае, с точностью до множителя, не зависящего от , способом, который иллюстрирует ещё одну возможность в обращении с интегралами по траекториям. Поскольку все траектории выходят из точки 0 в момент времени t=0 и возвращаются в эту же точку в момент t=T, функцию y(t) можно разложить в ряд Фурье по синусам с основной гармоникой, равной 2/T:
y(t)=
n
a
n
sin
nt
T
.
(3.85)
Тогда вместо того, чтобы в каждый момент времени t рассматривать траектории как функции от y, мы можем считать их функциями коэффициентов an. Это есть линейное преобразование, якобиан которого J является постоянной величиной, не зависящей, очевидно, от , m и h.
Конечно, этот якобиан можно вычислить непосредственно. Однако мы избежим здесь этого вычисления, собрав все множители, которые не зависят от (в том числе и J), в одну константу. Точное значение этой постоянной всегда можно найти, поскольку мы знаем её значение F(T)=m/2ihT для =0 (случай свободной частицы).
Интеграл для действия может быть записан через ряды Фурье (3.85). Поэтому член, пропорциональный кинетической энергии, становится равным
T
0
y^2
dt
=
n
m
n
T
m
T
a
n
a
m
T
0
cos
nt
T
cos
mt
T
dt
=
=
T·
1
2
n
n
T
^2
a
^2
n
(3.86)
и аналогично член, пропорциональный потенциальной энергии, становится равным
T
0