Квантовая механика и интегралы по траекториям

Из результата задачи 4.6 мы видим, что дифференцирование ядра K по переменной t₂ даёт -функцию времени, умноженную на (x₂– x₁) — производную от ступенчатой функции. Следовательно, ядро K удовлетворяет уравнению

–

h

i

K(2,1)

t₂

– H

₂

K(2,1)

=-

h

i

(x

₂

– x

₁

)

(t

₂

– t

₁

).

(4.29)

Вместе с граничным условием (4.28) это уравнение могло бы служить определением функции K(2,1), если уравнение Шрёдингера рассматривать в качестве основы квантовой механики. Величина K(2,1), очевидно, является одной из разновидностей функции Грина для уравнения Шрёдингера.

Сохранение вероятности. Определённый соотношением (4.15) оператор Гамильтона обладает интересным свойством: если f и g — две любые функции, которые обращаются в нуль на бесконечности, то

_–

(Hg)*f

dx

=

_–

g*(Hf)

dx.

(4.30)

Такая символическая запись означает следующее. В левой части этого равенства мы должны, взяв функцию g, подействовать на неё оператором H, получить Hg и проделать комплексное сопряжение. Полученный результат умножается затем на f и интегрируется по всему пространству. Если же образовать величину Hf, умножить её на функцию, комплексно-сопряжённую g, и проинтегрировать в тех же пределах, получится тот же самый результат. Легко проверить, что это будет именно так, если вычислить выражение (Hg)*fdx (по частям, где это необходимо).

Если в левую часть тождества (4.30) подставить рассмотренный выше оператор (4.15), то получим

–

h^2

2m

_–

d^2g*

dx^2

fdx

+

_–

Vg*fdx

=

=-

h^2

2m

dg*

dx

f-g*

df

dx

_–

–

h^2

2m

_–

g*

d^2f

dx^2

dx

+

_–

Vg*fdx

(4.31)

(здесь дважды выполнено интегрирование по частям). Если функции f и g на бесконечности обращаются в нуль, то проинтегрированные члены исчезают и равенство (4.30) доказано. Оператор, обладающий свойством (4.30), называется эрмитовым. Гамильтониан в квантовой механике всегда эрмитов. В более общих случаях, чем рассмотренный выше, интегрирование по одной переменной заменяется интегрированием (или суммированием) по всем переменным системы.

Положив функции f и g равными (x,t), получим

(H)*

dx

=

*(H)

dx

,

(4.32)

и если функция удовлетворяет волновому уравнению (4.14), то это выражение можно записать как

*

dt

dx+

*

dt

dx

=

dt

*

dx

=0.

(4.33)

Отсюда видно, что величина *dx не зависит от времени. Это легко интерпретировать. Если функция соответствующим образом нормирована, то * выражает вероятность найти систему в точке x, поэтому интеграл от * равен вероятности вообще обнаружить систему в какой-либо точке пространства. Это вероятность вполне достоверного события, и потому она постоянна и равна единице. Конечно, насколько это касается волнового уравнения, функция может быть умножена на любую постоянную и по-прежнему останется его решением. Квадрат этой константы войдёт в произведение *, и именно ему будет теперь равняться значение интеграла.

В нашем толковании функции как амплитуды вероятности равенство интеграла от * константе является совершенно фундаментальным. На языке функций K это означает, что в момент времени t₂ интеграл от квадрата модуля волновой функции имеет ту же самую величину, что и в момент времени t₁ т.е. если

(2)=

K(2,1)

f(1)dx

₁

,

(4.34)

то

*(2)(2)dx

₂

=

f*(1)f(1)dx

₁

,

(4.35)

или

K*(2;x

'

¹

,t

₁

)

K*(2;x

₁

,t

₁

)

f*(x

'

¹

)

f(x

₁

)

dx

₁

dx

'

¹

dx

₂

=

=

f*(x

₁

)

f(x

₁

)

dx

₁

.

(4.36)

Так как это должно выполняться для любой функции f, то

K*(2;x

'

¹

,t

₁

)

K*(2;x

₁

,t

₁

)

dx

₂

=

(x

'

¹

– x

₁

).

(4.37)

Следовательно, для того чтобы можно было интерпретировать функцию как амплитуду вероятности, необходимо, чтобы ядро K удовлетворяло соотношению (4.37). Мы получили это, исходя из уравнения Шрёдингера. Было бы приятнее вывести это соотношение и другие свойства, такие, как (4.38) и результат задачи (4.7), прямо на основе определения ядра K как интеграла по траекториям и не переходить к дифференциальному уравнению. Это, конечно, можно сделать, однако в этом случае вывод не будет столь простым и изящным, каким он должен быть для таких важных соотношений. Справедливость (4.37) можно проверить следующим образом: для малого интервала, когда t₁=t₂– , оно непосредственно следует из выражения exp(iL/h) Методом индукции соотношение (4.37) можно далее обобщить для любого интервала. Один из недостатков подхода к квантовой механике, основанного на интегралах по траекториям, состоит в том, что соотношения, включающие такие сопряжённые величины, как * или K*, не очевидны сами по себе.

Умножая обе части выражения (4.37) на функцию K(1,3) и интегрируя по переменной x₁ можно показать, что для t₂>t₁>t₃

K*(2,1)

K(2,3)

dx

₂

=

K(1,3).

(4.38)

Сравним это с равенством

K(1,2)

K(2,3)

dx

₂

=

K(1,3),

где t₁>t₂>t₃. Последнее равенство мы можем истолковать следующим образом: если за исходную взята точка t₃, то K(2,3) даёт нам амплитуду вероятности для более позднего момента времени t₂. Если мы хотим перейти к ещё более позднему моменту времени t₁ то это можно сделать, используя ядро K(1,2). С другой стороны, если, зная амплитуду в момент времени t₂, мы захотим вернуться назад, чтобы определить её в более ранний момент времени t₁<t₂, то это можно сделать, используя ядро K*(2,1) в соответствии с равенством (4.38). Следовательно, можно сказать, что действие сопряжённого ядра K*(2,1) компенсирует действие ядра K(1,2).