Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Ниже будет дана интерпретация выражений типа f*gdx, и мы увидим, что равенство (4.46) отражает тот факт, что если частица имеет энергию E [и, следовательно, её волновая функция 1=exp(iE1t/h)1], то вероятность обнаружить у неё другое значение энергии E2 [т.е. волновую функцию exp(iE2t/h)2] должна равняться нулю.
Задача 4.8. Покажите, что когда оператор H эрмитов, то собственное значение E вещественно [для этого следует положить в равенстве (4.30) f=g=1].
Задача 4.9. Покажите справедливость равенства (4.46)
Линейные комбинации функций стационарных состояний. Предположим, что функции, соответствующие набору энергетических уровней En, не только ортогональны, но также и нормированы т.е. интеграл от квадрата их модуля по всем значениям x равен единице:
–
*
n
(x)
m
(x)
dx
=
nm
,
(4.47)
где nm — символ Кронекера, определяемый равенствами nm=0, если n/=m, и nn=1. Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций; в частности, в таком виде можно представить любую функцию, являющуюся решением волнового уравнения Шрёдингера:
f(x)=
n=1
a
n
n
(x).
(4.48)
Коэффициенты an легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряжённые функции *2(x) и интегрируя по x, получаем
–
*
m
f(x)
dx
=
n=1
a
n
–
*
m
n
dx
=
a
m
(4.49)
и, следовательно,
a
n
=
–
*
n
(x)f(x)
dx.
(4.50)
Таким образом мы получили тождество
f(x)
=
n=1
n
(x)
–
*
n
(y)f(y)
dy
–
n=1
n
(x)
*
n
(y)
f(y)
dy.
(4.51)
Другой интересный
способ получения того же результата исходит из определения -функции:(x-y)=
n=1
n
(x)
*
n
(y).
(4.52)
Ядро K можно выразить через функции n и значения энергии En. Мы сделаем это с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени t2, если она нам известна в момент времени t1. Так как она является решением уравнения Шрёдингера, то при любом t её, как и всякое его решение, можно записать в виде
(x,t)
=
n=1
c
n
e
– (i/h)Ent
n
(x).
(4.53)
Но в момент времени t1
f(x)
=
(x,t
1
)
=
n=1
c
n
e
– (i/h)Ent1
n
(x)
=
n=1
a
n
(x)
n
(x)
,
(4.54)
поскольку мы всегда можем представить f(x) в виде ряда (4.48). Отсюда следует, что
c
n
=
a
n
e
+(i/h)Ent1
.
(4.55)
Подставив это в выражение (4.53), будем иметь
(x,t
2
)
=
n=1
c
n
e
– (i/h)Ent2
n
(x)
=
n=1
a
n
exp
+
i
h
E
n
(t
1
– t
2
)
n
(x).
(4.56)
Используя теперь для коэффициентов an выражение (4.50), получаем
(x,t
2
)
=
n=1
n
(x)
exp
–
i
h
E
n
(t
2
– t
1
)
–
*
n