Квантовая механика и интегралы по траекториям

Задача 4.7. Покажите, что если t₁<t₃, то левая часть равенства (4.38) равна K*(3,1).

§ 2. Гамильтониан, не зависящий от времени

Стационарные состояния с определённой энергией. Специальный случай, когда гамильтониан H оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие S, не зависящее явным образом от времени t (например, когда потенциалы A и V не содержат время t). В таком случае ядро зависит не от переменной времени t, а будет функцией лишь интервала t₂– t₁. Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.

Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шрёдингера (4.14) в виде =f(t)(x), т.е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) даёт соотношение

–

h

i

f'(t)(x)

=

Hf(t)(x)

=

f(t)H(x),

(4.39)

или

–

h

i

f'

f

=

1

H.

(4.40)

Левая часть этого уравнения не зависит от x, тогда как правая не содержит зависимости от t. Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых x и t, обе его части не должны зависеть от этих переменных, т.е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через E. Тогда

f'=

–

i

h

Ef,

или

f=

e

^{– iEt/h}

с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

(x,t)

=

e

^{– (i/h)Et}

(x),

(4.41)

где функция удовлетворяет уравнению

H

=

E,

(4.42)

а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определённой частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определённой энергией E. Каждому значению энергии E соответствует своя особая функция — частное решение уравнения (4.42).

Вероятность того, что частица находится в точке x, задаётся квадратом модуля волновой функции , т.е. ||^2. В силу равенства (4.41) эта вероятность равна ||^2 и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии — стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.

Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределённости, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна E, время должно быть полностью неопределённым. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определённом состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.

Пусть E₁ — значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение ₁ и E₂ — другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению ₂. Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шрёдингера, а именно:

₁

=

e

^{– (i/h)E₁t}

₁

(x)

 и

₂

=

e

^{– (i/h)E₂t}

₂

(x);

(4.43)

так как уравнение Шрёдингера линейно, то ясно, что наряду с его решением будет и c. Кроме того, если ₁ и ₂ — два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция

=

c

₁

e

^{– (i/h)E₁t}

₁

(x)

+

c

₂

e

^{– (i/h)E₂t}

₂

(x)

(4.44)

тоже будет решением уравнения Шрёдингера.

Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии E и найдены соответствующие им функции то любое решение уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определённым значениям энергии.

Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях c₁ и c₂. Поэтому, используя для функции выражение (4.44) получаем

*

dx

=

c

*

1

c

₂

|

₁

|^2

dx

+

c

*

1

c

₂

exp

i

h

(E

₁

– E

₂

)t

_*

¹

₂

dx

+

+

c

₁

c

_*

²

exp-

i

h

(E

₁

– E

₂

)t

₁

_*

²

dx

+

c

_*

²

c

₂

_*

²

₂

dx.

(4.45)

Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т.е. члены, содержащие экспоненты exp[±(i/h)(E₁– E₂)t] должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов c₁ и c₂. Это означает, что

^–

_*

¹

₂

dx

=

^–

₁

_*

²

dx

=0.

(4.46)

Если две функции f и g удовлетворяют соотношению

f*g

dx

=0,

то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.