Квантовая механика и интегралы по траекториям

Конечно, это предположение может стать неверным при некотором специальном выборе стенок; например, если точка x₂ будет находиться в фокусе волн, вышедших из точки x₁ и отражённых от стенок. Иногда по инерции допускают ошибку, заменяя систему, находящуюся в свободном пространстве, системой, расположенной в центре большой сферы. Тот факт, что система остаётся точно в центре идеальной сферы, может давать некий эффект (подобно появлению светлого пятна в центре тени от совершенно круглого предмета), который не исчезает, даже если радиус сферы стремится к бесконечности. Влияние поверхности было бы пренебрежимо малым в случае стенок другой формы или для системы, смещённой относительно центра этой сферы.

Рассмотрим сначала одномерный случай. Волновые функции, зависящие от координаты, имеют вид e^ipx, где x принимает оба знака. Какой вид будут иметь функции , если область изменения x ограничить произвольным интервалом от -L/2 до L/2? Ответ зависит от граничных условий, определяющих значения в точках x=-L/2 и x=L/2. Простейшими с физической точки зрения являются граничные условия в случае стенок, создающих для частицы сильный отталкивающий потенциал, ограничивая тем самым область её движения (т.е. при идеальном отражении). В этом случае в точках x=-L/2 и x=L/2 (x)=0. Решениями волнового уравнения

–

h^2

2m

^2

x^2

=

E,

(4.66)

соответствующими энергии E=p^2/2m=h^2k^2/2m в области |x|<L/2, будут экспоненты e^ikx и e^{– ikx} или любая их линейная комбинация. Как e^ikx, так и e^{– ikx} не удовлетворяют выбранным граничным условиям, однако при k=nL (где n — целое число) требуемыми свойствами обладает в случае нечётного n их полусумма (т.е. cos kx), а в случае чётного n — делённая на i их полуразность (т.е. sin kx), как это схематически изображено на фиг. 4.1. Таким образом, волновые функции состояний имеют вид синусов и косинусов, а соответствующие им энергетические уровни дискретны и не составляют континуума.

Фиг. 4.1. Вид одномерных волновых функций, нормированных в ящике.

Показаны первые четыре из них. Энергии соответствующих уровней равны E₁=h^2^2/2mL^2, E₂=4E₁, E₃=9E₁ и E₄=16E₁. Абсолютное значение энергии, которое зависит от размеров нашего фиктивного ящика, несущественно для большинства реальных задач. То, что действительно имеет значение, — это соотношение между энергиями различных состояний.

Если решения записать в виде 2/L cos kx и 2/L sin kx, то они будут нормированы, поскольку

_L/2

^L/2

(2/L)

^1/2

cos kx

^2

dx

=1.

(4,67)

Сумма по всем состояниям является суммой по n. Если мы рассмотрим, например, синусоидальные волновые функции (т.е. чётные значения n), то при небольших значениях x и очень большой величине L (стенки далеки от интересующей нас точки) соседние по номерам n функции различаются весьма незначительно. Их разность

2/L

sin 2(n+1)

x

L

– sin 2n

x

L

=

=2

2/L

cos 2

2n+1

2

x

L

sin 2

x

2L

2/L

2x

L

cos 2

n+

1

2

x

L

(4.68)

приблизительно пропорциональна малой величине x/L. Поэтому сумму по n можно заменить интегралом по k=2n/L. Так как допустимые значения n расположены последовательно с интервалом 2/L, в промежутке n расположено L/2n состояний. Все это применимо также и к состояниям с косинусоидальной волновой функцией, поэтому во всех наших формулах мы можем заменить суммы интегралами

ⁿ⁼⁰

– >

⁰

dn

2

L,

(4.69)

не забывая, что в конце нужно сложить результаты для обоих типов волновых функций, а именно 2/L cos kx и 2/L sin kx.

Часто бывает неудобным использовать в качестве волновых функций sin kx и cos kx, и более предпочтительными являются их линейные комбинации

e

^ikx

=

cos kx

+i

sin kx

 и

e

^{– ikx}

=

cos kx

– i

sin kx

.

Однако, вводя ограниченный объём V, мы вынуждены использовать синусы и косинусы, а не их линейные комбинации, потому что при заданном значении k решением будет лишь одна из этих функций, а не обе сразу. Но если пренебречь малыми погрешностями, являющимися следствием таких небольших различий в значениях k, то мы можем рассчитывать на получение правильных результатов и с этими новыми линейными комбинациями. После нормировки они принимают вид 1/Le^ikx и 1/Le^{– ikx}. Поскольку волну e^{– ikx} можно рассматривать как волну e^ikx, но с отрицательным значением k, наша новая процедура, включая объединение двух типов волновых функций, сводится к следующему практическому правилу: взять волновые функции свободной частицы e^ikx, нормировать их на отрезке длины L изменения переменной (т.е. положить =1/Le^ikx) и заменить суммы по состояниям интегралами по переменной k таким образом, чтобы число состояний со значениями k, заключённых в интервале (k,k+dk), было равно Ldk/2, а само k изменялось от - до +.

Периодические граничные условия. Иногда подобный экскурс к косинусам и синусам, а затем обратно к экспонентам удаётся обойти с помощью следующего довода. Так как введение стенки является искусственным приёмом, то её конкретное положение и соответствующее граничное условие не должны иметь какого-нибудь физического значения, если только стенка достаточно удалена. Поэтому вместо физически простых условий =0 мы можем использовать другие, решениями для которых сразу окажутся экспоненты e^ikx. Таковыми условиями являются

L

2

=

–

L

2

(4.70)

и

'

L

2

='

–

L

2

(4.71)

Их называют периодическими граничными условиями, потому что требование периодичности (x) с периодом L во всем пространстве привело бы к тем же самым условиям. Легко проверить, что функции 1/Le^ikx являются нормированными на отрезке L решениями при условии, что k=2n/L, где n — любое целое (положительное или отрицательное) число или нуль. Отсюда непосредственно следует правило, сформулированное выше.

Что происходит в случае трёх измерений, мы можем понять, если рассмотрим прямоугольный ящик со сторонами, равными L_x, L_y, L_z. Используем периодические граничные условия, т.е. потребуем, чтобы значения волновой функции и её первой производной на одной грани ящика были симметрично равны их значениям на противоположной грани. Нормированная волновая функция свободной частицы будет представлять собой произведение

1/L

_x

e