Квантовая механика и интегралы по траекториям

^ik_xx

1/L

_y

e

^ik_yy

1/L

_z

e

^ik_zz

=

1

V ^1/2

e

^ik·r

,

(4.72)

где V=L_xL_yL_z — объём ящика, и допустимыми значениями будут k_x=2n_x/L_x, k_y=2n_y/L_y и k_z=2n_z/L_z (n_x, n_y, n_z — целые числа). Кроме того, число решений со значениями k_x, k_y, k_z, лежащими соответственно в интервалах dk_x, dk_y, dk_z, равно произведению

dk_x

2

L

_x

dk_y

2

L

_y

dk_z

2

L

_z

=

d^3k

(2)^3

V.

(4.73)

Другими словами, мы использовали плоские волны, нормированные в объёме V. Число состояний в объёме d^3k (дифференциальном объёме k-пространства) равно Vd^3k/(2)^3.

Применим это к задаче 4.11 и вспомним установленную в § 1 гл. 3 связь между импульсом и волновым числом p=hk. В выражении (4.64) мы должны сделать два изменения. Во-первых, поскольку волновыми функциями у нас были exp[(ip·r)/h], в то время как теперь мы должны использовать 1/Vexp[(ip·r)/h], нужно ввести добавочный множитель 1/V. [Выражение (4.64) содержит произведение двух волновых функций.) Во-вторых, символ суммы

^p

надо заменить на интеграл Vd^3p/(2h)^3. Все это оправдывает то, что было проделано в § 2 гл. 4, а также результаты вывода в задаче 4.11.

Следует отметить, что множители V сокращаются, как это и должно быть, так как при V-> ядро K не должно зависеть от размера ящика.

Некоторые замечания о математической строгости. У читателя при виде того, как в конце вычислений объём V сокращается, может возникнуть одна из двух реакций: либо удовлетворение от того, что он сокращается, как это и должно быть, поскольку стенки ни на что не влияют, либо недоумение, почему все делается так нестрого, «грязно» и запутанно, с помощью стенок, которые не имеют никакого реального смысла, и т. д., когда все это можно было бы выполнить намного изящнее и математически строже без всяких стенок и тому подобных вещей. Тип такой реакции зависит от того, мыслите ли вы физически или же математически. По поводу математической строгости в физике между математиками и физиками возникает много недоразумений, поэтому, быть может, уместно дать оценку каждому методу: рассуждениям с ящиком и математически строгому рассмотрению.

Здесь, конечно, содержится более тривиальный вопрос: какой метод для нас более привычен, т.е. требует минимума новых знаний? Прежде чем подсчитывать число различных состояний в ящике, большинство физиков думали прежде всего именно об этом.

Наряду с этим математически строгое решение может быть нестрогим с физической точки зрения; иначе говоря, возможно, что ящик существует на самом деле. Им может быть не обязательно прямоугольный ящик, ведь не часто оказывается, что эксперименты ставят под звёздами; чаще их проводят в комнате. Хотя физически представляется вполне разумным, что стенки не должны влиять на опыт, тем не менее такую постановку задачи надо рассматривать как идеализацию. Удаление стенок на бесконечность ничем не лучше, чем замена их достаточно далёкими идеальными зеркалами. В первом случае математическая строгость также нарушается, поскольку реальные стенки находятся не на бесконечности.

Подход с привлечением удалённых стенок справедлив и строг настолько же, насколько оправдан. Он обладает несколькими преимуществами. Например, когда объём в заключительных формулах сокращается, мы видим, что несуществен по крайней мере один из аспектов идеализации — насколько стенки удалены. Этот результат интуитивно ещё более убеждает нас в том, что истинное расположение реальной окружающей обстановки может быть несущественным. Наконец, полученная формула очень полезна, когда мы действительно имеем случай конечных размеров. Например, в гл. 8 мы воспользуемся ею, чтобы подсчитать число различных звуковых волн в большом блоке вещества прямоугольной формы.

С другой стороны, преимуществом математически строгого подхода является упразднение в сущности ненужной детали, которая не входит в результат. Хотя введение стенок позволяет кое-что узнать о том, почему же они все-таки ни на что не влияют, тем не менее можно убедиться в справедливости этого, не вникая при этом в детали.

Задача о нормировке волновых функций представляет собой довольно частный пример, но он иллюстрирует главное. Физик не может понять осторожности, проявляемой математиком при решении идеализированной физической задачи. Он знает, что реальная задача намного сложнее. Она уже упрощена с помощью интуиции, которая отбрасывает несущественное и аппроксимирует то, что остаётся.

Глава 5

ИЗМЕРЕНИЯ И ОПЕРАТОРЫ

До сих пор мы описывали квантовомеханические системы таким образом, как если бы собирались измерять лишь пространственные координаты и время. Все измерения в квантовомеханических системах можно действительно свести в сущности лишь к определению положений и моментов времени (например, к определению положения стрелки измерительного прибора или времени пролёта частицы). Поэтому теория, сформулированная на основе понятий, соответствующих пространственно-временным измерениям, будет в принципе достаточно полной для того, чтобы описывать все явления. Тем не менее имеет смысл попытаться непосредственно выяснить вопрос, касающийся, скажем, измерения импульса, не требуя при этом, чтобы окончательное показание прибора сводилось к измерению положений, и не рассматривая в деталях, какие именно части прибора измеряют импульс. Поэтому в данной главе мы не будем концентрировать наше внимание на амплитуде вероятности измерения пространственных координат, а вместо этого рассмотрим амплитуду вероятности найти определённое значение импульса, энергии или какой-либо другой физической величины.

В § 1 этой главы мы покажем, как можно описать квантовомеханическую систему, используя понятия импульса и энергии. Далее, в § 2 мы расширим рассмотрение, что позволит нам в общем случае исследовать квантовомеханическую систему в различных представлениях. Преобразующие функции, которые позволяют переходить от одного представления к другому, имеют много интересных свойств. Среди них понятие оператора, которое было введено в гл. 4 и будет обсуждаться далее в § 3.

§ 1. Импульсное представление

Амплитуда вероятности в импульсном пространстве. Выше мы пользовались понятием вероятности, имея в виду определение положения частицы; теперь допустим, что мы хотим измерить её импульс. Спрашивается, существует ли такая амплитуда вероятности (p), квадрат модуля которой даёт вероятность P(p) того, что импульс частицы при измерении окажется равным p

Такая амплитуда действительно есть, и мы легко можем её найти. Некоторые способы измерения импульса (или других физических величин) соответствуют измерениям пространственных координат, и, следовательно, они могут быть изучены, если мы знаем, как анализировать измерения координат. Так, например, ограничиваясь одномерным случаем, предположим, что частица при t=0 находится в области ±b около начала координат оси x. Неопределённость b может быть сколь угодно большой, оставаясь, однако, конечной. Мы можем измерить импульс такой частицы, пользуясь измерением времени её пролёта, т.е. мы можем пронаблюдать, насколько переместилась частица за время t=T (предполагая отсутствие сил). Если новое положение частицы есть x, то её скорость равна x/T, а импульс p=mx/T. Ошибку такого измерения импульса ±mb/T можно сделать сколь угодно малой, если время T выбрать соответственно достаточно большим.

Предположим, что мы рассматриваем в импульсном пространстве вероятность P(p), определяемую в таком эксперименте. P(p)dp — вероятность того, что значение импульса находится между p и p+dp, равна вероятности P(x)dx того, что при внезапном исчезновении всех воздействий на частицу она через промежуток времени T будет находиться между точками x+dx. Конечно, это обусловлено тем, что импульс p связан с координатой x равенством p=mx/T. Допустим, что волновая функция частицы в момент времени t=0 имеет вид f(y), и наша задача заключается в том, чтобы выразить вероятность P(p) непосредственно через волновую функцию f(y).

Амплитуда вероятности того, что частица придёт в точку x в момент времени t=T, равна

(x,t)

=

^–

K

₀

(x,T;y,0)

f(y)dy

.

(5.1)

После подстановки ядра K₀, описывающего движение свободной частицы, это выражение примет вид

(x,t)

=

m

2_ihT

1/2