Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
exp
imx^2
2hT
–
exp
– imxy
hT
exp
imy^2
2hT
f(y)dy
.
(5.2)
Квадрат модуля амплитуды (x,T) даёт вероятность нахождения частицы между точками x и x+dx. В соответствии с нашим определением это совпадает (в пределе T->) с вероятностью того, что величина импульса частицы лежит между p и p+dp:
P(x)dx
=
mdx
2hT
–
exp
im
2hT
(y^2-2xy)
f(y)dy
^2
=
P(p)dp
(5.3)
при T->.
P(p)dp
=
dp
2h
–
exp
imy^2
2hT
–
ipy
h
f(y)dy
^2
.
(5.4)
Ранее мы предположили, что в начальный момент времени частица должна находиться в некоторой ограниченной области ±b - около начала координат. Это означает, что начальная волновая функция f(y) спадает до нуля для значений y, больших по абсолютной величине, чем b. Далее, при возрастании T величина imb^2/2hT становится пренебрежимо малой. Так как значения y, большие по абсолютной величине, чем b, не дают вклада в интеграл (5.4), то вероятность P(p)dp будет приближённо равна произведению dp/2h на квадрат модуля амплитуды 1)
(p)
=
+
–
exp
– ipy
h
f(y)dy
.
(5.5)
1) Многие авторы предпочитают включать множитель 1/2h в определение амплитуды (p), куда он входит как 1/2h Однако, следуя изложенному в § 3 гл. 4, мы предпочитаем писать амплитуду в той форме, которую уже применяли, и при этом помнить, что элемент объёма в импульсном пространстве у нас всегда включает в себя множитель 1/2h для каждой степени свободы. Например, элемент объёма в трёхмерном импульсном пространстве равен d^3p/(2h)^3.
Несколько другая интерпретация этого результата даётся на фиг. 5.1 и 5.2.
Фиг. 5.1. Амплитуда вероятности появления частицы, движущейся свободно.
В точке x в интервале времени T она является произведением двух функций. Одна из них f(y) — амплитуда вероятности того, что частица начинает движение из некоторой точки y как это показано пунктирной линией. Вторая — ядро для свободной частицы K(x,T;y,0) — является амплитудой перехода из точки y в точку x; она представлена синусоидой с медленно изменяющейся длиной волны. Конечное положение x мы рассматриваем здесь как начальную точку изменения этой функции, в то время как y у нас — переменная величина. Если расстояние точки x от начала координат значительно больше расстояния между точками -b и +b, где функция f(y) не равна нулю, то длина волны остаётся практически постоянной.
Приближённо её можно записать в виде exp[(-i/h)(mx/T)y] В окончательном выражении для амплитуды вероятности достижения частицей точки x эти функции перемножаются и произведение их интегрируется по y. Так как все частицы проходят примерно одинаковое расстояние за одно и то же время T (опять-таки в предположении x>>b), это выражение совпадает с амплитудой вероятности того, что импульс частиц равен p=(mx/T).
Фиг. 5.2.
Случай периодической амплитуды.Если приближённо амплитуду f(y) считать периодической функцией с такой же длиной волны, что и у соответствующего ядра K, как показано на фиг. а, то интеграл от произведения этих двух функций становится очень большим. Это означает, что с большой вероятностью импульс равен mx/T.
Если, с другой стороны, предположить, что длины волн различаются на некоторую новую функцию f'(y) как показано на фиг. б, то после перемножения вклады в интеграл от различных значений y будут взаимно уничтожаться. Вероятность того, что импульс равен mx/T, в этом случае мала.
Если выбрать, как это показано на фиг. в, другое конечное положение x' то в область (-b,b) попадёт совсем другая часть кривой K. При подходящем выборе x' длина волны, соответствующая этой части кривой K совпадает с длиной волны для функции f'(y) и величина вероятности в этом случае снова возрастает. Другими словами, частицы с большой вероятностью будут иметь новое значение импульса p=mx'/T.
Выражение для амплитуды в импульсном пространстве (5.5) относится к одномерному случаю. Его легко обобщить на трёхмерный случай, когда амплитуда вероятности записывается в виде
(p)
=
r
exp
–
i
h
(p·r)
f(r)d^3r
.
(5.6)
Здесь уже предполагается, что волновая функция f(r) определена во всех точках трёхмерного координатного пространства. Амплитуда (p) представляет собой амплитуду вероятности того, что частица имеет импульс p в момент времени t=0. (Заметим, что эта амплитуда не определена для момента времени t=T.) Временной интервал T обусловливается самим измерительным прибором, и его можно варьировать, не изменяя при этом величины амплитуды в импульсном пространстве. Квадрат модуля этой амплитуды, умноженный на элемент объёма пространства импульсов, даёт вероятность нахождения импульса в трёхмерном интервале импульсного пространства d^3p/(2h)^3.
Мы проанализировали возможность измерения импульса на основе измерения времени пролёта. Такой же анализ можно было бы провести и для других методов. Рассмотрение любого метода измерения импульса должно привести нас к одному и тому же результату для амплитуды вероятности в пространстве импульсов. Предположим, что у нас есть два прибора, предназначенные для измерения одной и той же величины — импульса. Если они дают разные результаты, то мы должны объяснить это неисправностью одного из приборов. Таким образом, если согласиться, что измерение времени пролёта является приемлемым методом определения импульса, то любой прибор, измеряющий импульс, должен давать для распределения импульса P(p)dp тот же самый результат при условии, что система находится в одном и том же состоянии f(y). Анализ любого приспособления, измеряющего импульс, должен давать для амплитуды вероятности, определяющей импульс p, одно и то же выражение (p) с точностью до несущественной фазовой постоянной (т.е. с точностью до множителя ei, где = const). Возьмём, например, следующую задачу.
Задача 5.1. Рассмотрите какой-нибудь прибор, предназначенный для измерения импульса в классическом приближении, такой, например, как масс-спектрограф. Проанализируйте этот прибор, пользуясь методом, которому мы следовали в гл. 4. Покажите, что для амплитуды в пространстве импульсов получается тот же результат.
Переход к импульсному представлению. Мы называли (R,t) амплитудой вероятности того, что частица находится в точке R в момент времени t. Выше показано, что соответствующая амплитуда в пространстве импульсов имеет вид