Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(p,t)
=
R
exp
–
i
h
(p·R)
(R,t)
d^3R
.
(5.7)
Будем называть её амплитудой вероятности того, что частица имеет импульс p в момент времени t. Часто оказывается более удобным рассматривать задачи не в координатном представлении, а в импульсном, или, как говорят, в пространстве импульсов, а не координат. Фактически переход от одного представления к другому есть не что иное, как преобразование Фурье. Таким образом, если мы имеем импульсное представление и хотим перейти снова к координатному, то пользуемся обратным преобразованием
(R,t)
=
p
exp
i
h
(p·R)
(p,t)
d^3p
(2h)^3
.
(5.8)
Эту
Заметим, что в преобразовании (5.7) показатель у экспоненты отрицательный. Это обстоятельство можно истолковать таким же образом, как это делалось в § 3 гл. 4.
Следовательно, exp(-ip·R/h) представляет собой амплитуду вероятности того, что если частица находится в точке R, то её импульс равен p.
Ядро в импульсном представлении. Мы показали (см. § 4 гл. 3), как с помощью ядра, которое описывает движение частицы в промежуточные моменты времени, находится волновая функция для некоторого момента времени t2, если известна волновая функция для более раннего момента времени t1 а именно
(R
2
,t
2
)
=
t2
t1
R1
K(R
2
,t
2
;R
1
,t
1
)
(R
1
,t
1
)
d^3R
1
dt
1
.
(5.9)
Существует также выражение для ядра в импульсном пространстве, которое можно было бы использовать в аналогичной формуле. Тогда амплитуда в пространстве импульсов для момента времени t2 окажется выраженной через амплитуду, относящуюся к более раннему моменту времени t1:
(p
2
,t
2
)
=
t2
t1
p1
K(p
2
,t
2
;p
1
,t
1
)
(p
1
,t
1
)
d^3p1
(2h)^3
dt
1
.
(5.10)
Подставив в соотношение (5.9) значение (R1,t1) из формулы (5.8) и выполнив, как это указано в (5.57), преобразование Фурье от функции (R2,t2) к (p2,t2), мы выразим ядро в импульсном
представлении через его значение в координатном представленииK(p
2
,t
2
;p
1
,t
1
)
=
=
R1
R2
e
– (i/h)p2·R2
K(R
2
,t
2
;R
1
,t
1
)
e
+(i/h)p1·R1
d^3R
1
d^3R
2
.
(5.11)
Например, ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном пространстве, имеет вид
K
0
(p
2
,t
2
;p
1
,t
1
)
=
=
R1
R2
e
– (i/h)p2·R2
K
0
(R
2
,t
2
;R
1
,t
1
)
e
(ih)p1·R1
d^3R
1
d^3R
2
=
(2h)^3^3
(p
1
– p
2
)
exp
–
i|p1|^2
2hm
(t
2
– t
1
)
при
t
2
>t
1
,
0
при
t
2
<t
1
.
(5.12)
Последнее равенство следует из условия (4.28). То, что в это выражение входит дельта-функция, доказывает постоянство импульса свободной частицы, как это видно из фиг. 5.3. Однако фаза волновой функции в импульсном пространстве непрерывно изменяется благодаря множителю exp(-iEt/h), где E=p^2/2m. Этот вывод, следующий из формулы (5.12), можно непосредственно получить также из соотношения (4.64).
Фиг. 5.3. Ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном и координатном пространствах.
В импульсном представлении существует единственная траектория, двигаясь по которой частица достигает значения импульса p2 в момент времени t2. Эта траектория должна начинаться со значения импульса t1=t2 Все другие траектории не дают вклада в ядро.
Ядро (5.12) открывает возможность для более простого описания свободной частицы, чем ядро в координатном представлении. В общем случае, когда частица не является свободной, а движется под воздействием потенциала, ядро в импульсном представлении не имеет такого простого вида. Однако влияние потенциала можно рассмотреть методами теории возмущений, и выражение в этом случае снова будет достаточно простым.