Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
–
F(…,
x
i
,
x
i+1
,
…).
=
i
F
xi
i
,
(7.23)
что следует из обычных правил вычисления частных производных. Если теперь обозначить (1/)(F/xi)=Ki, то сумма в (7.23) запишется как
i
K
i
i
и
Можно также воспользоваться понятием дифференциала. При этом сразу пишется выражение
df
=
i
f
xi
dx
i
,
и для первой вариации любого заданного функционала F получим
F
=
F
x(s)
x(s)
ds
,
(7.24)
где x(s) вариация траектории x(s).
Задача 7.1. Для действия, заданного в виде
S=
t2
t1
L(x,x,t)
dt
,
покажите, что в любой точке s между t1 и t2 выполняется равенство
S
x(s)
=-
d
ds
L
x
+
L
x
,
(7.25)
где все частные производные взяты при t=s.
Задача 7.2. Покажите, что при F[x]=x.
F
x(s)
=
(-s).
(7.26)
Задача 7.3. Покажите, что если
F=exp
1
2
…
j(r
1
,t
1
)
j(r
2
,t
2
)
x
x
R
(r
1
– r
2
,t
1
– t
2
)
d^3r
1
d^3r
2
d^3t
1
d^3t
2
,
то производная F/j(d,s) будет иметь вид
F
j(d,s)
=
–
R
(r-r',t-t')
j(r',t')
dr'
dt'
F.
(7.27)
Заметим, что j(r,t) является функцией четырёх переменных (x,y,z,t). Поэтому для описания точки, в которой берётся функциональная производная, координату s в интегралах [вида, например, соотношения (7.14)] надо заменить набором всех четырёх этих аргументов.
Общее соотношение между функционалами, о котором мы упоминали в начале этого параграфа, можно получить, разлагая в ряд матричный элемент перехода функциональной производной F/x(s). Сделать это легче всего следующим образом. Рассмотрим матричный элемент
F
S
=
F[x(t)]
e
(i/h)S[x(t)]
Dx(t)
(7.28)
и
в интеграле по траекториям функцию x(t) заменим на x(t)+(t). Для каждого фиксированного значения (t) выполнено равенство D[x(t)+(t)]=Dx(t) [поскольку d(xi+i) = d(xi)]. Отметим, что сам интеграл не должен измениться от такой замены. Разлагая теперь экспоненту в ряд и ограничиваясь членами нулевого и первого порядковF
S
=
F[x(t)+(t)]
e
(i/h)S[x(t)+(t)]
Dx(t)
=
=
F[x(t)]
e
(i/h)S[x(t)]
Dx(t)
+
F
x(s)
(s)
d(s)
e
(i/h)S[x(t)]
Dx(t)
+
+
i
h
F[x(t)]
s
x(s)
(s)
d(s)
e
(i/h)S[x(t)]
Dx(t)
+… ,
(7.29)
получаем, что член нулевого порядка в точности равен FS. Поэтому сумма членов первого порядка при любой функции (S) должна обращаться в нуль. Отсюда следует соотношение
F
x(s)
S
=-
i
h
F
s
x(s)
S
.
(7.30)
Из этого общего соотношения вытекает много важных следствий. Так, его можно было бы использовать в качестве отправной точки для вывода законов квантовой механики; можно было бы вернуться несколько назад и ещё раз получить выражение (7.6). Если речь идёт о каком-то обобщении квантовой механики, то можно предполагать, что это обобщение содержится в функции S, в экспоненте eiS/h, или же исходить из выражения, подобного соотношению (7.30), и вводить обобщение в дифференциальной форме. Швингер исследовал различные формулировки квантовой механики, вытекающие из соотношения (7.30).
Можно получить ещё одну форму этого соотношения, если проделать разбиение временного интервала на -отрезки, а функционалы заменить функциями переменных x(i), соответствующих моментам t(i). Рассматривая далее интеграл по траекториям
F
xk
e
(i/h)S[x(t)]
Dx(t)
,
(7.31)
где tk — некоторый промежуточный момент, не являющийся концом временного интервала, мы видим, что этот интеграл является обычным кратным интегралом по аргументам xi. После одной интеграции по частям получим, отбросив проинтегрированную часть:
F
xk
e
(i/h)S[x(t)]
Dx(t)
=
i
h
S
xk
e
(i/h)S[x(t)]
Dx(t)
.
(7.32)
Задача 7.4. Выясните, почему обращается в нуль проинтегрированная часть.
Окончательно имеем
F
xk
S
=-
i