Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
i
h
m
2
(xk+1– xk)^2
^2
+
h
2i
,
(7.53)
а это не что иное, как кинетическая энергия, умноженная на величину i/h.
Из равенства (7.49) можно было бы заключить, что это выражение равно нулю. Однако само равенство (7.49) выполняется лишь в пределе при ->0 с точностью до членов порядка 1/, в то время как (7.53) при таком же предельном переходе остаётся конечным. Это выражение можно переписать
m
2
xk+1– xk
xk– xk-1
=
m
2
xk+1– xk
^2
+
h
2i
1.
(7.54)
Таким образом, левую часть уравнения (7.54) можно рассматривать как матричный элемент кинетической энергии. Отсюда видно, что простейший способ написания матричных элементов перехода, содержащих различные степени скоростей, заключается в замене этих степеней произведениями скоростей, в которых каждый множитель немного отличается от другого небольшим сдвигом во времени.
В простых задачах матричные элементы перехода иногда можно вычислить непосредственно. Тот же самый результат в этих задачах можно получить, воспользовавшись соотношениями для матричных элементов перехода, которые мы нашли в § 2. Из этих соотношений получаются разрешимые дифференциальные уравнения для матричных элементов. Для иллюстрации рассмотрим теперь несколько примеров применения нашего общего метода, однако, как будет видно, все задачи, для которых этот метод окажется результативным, настолько просты, что и непосредственное вычисление матричных элементов фактически вряд ли будет сложнее.
В качестве первого примера рассмотрим случай свободной частицы, которая переходит из точки x1 в точку x2 за время T. Найдём матричный элемент перехода для пространственной координаты в момент времени t, т.е. для x(t). Конечно, он будет некоторой функцией от t, поэтому ясно, что
x(0)
=
x
1
1
,
x(T)
=
x
2
1
.
(7.55)
Так как в рассматриваемом случае все потенциалы, действующие на частицу, постоянны в пространстве (поскольку отсутствуют силы), то вторая производная от матричного элемента перехода для пространственной координаты равна нулю в соответствии с уравнением (7.42) и, следовательно, результатом интегрирования будет
x(t)
=
x
1
+
t
T
(x
2
– x
1
)
1.
(7.56)
Заметим, что выражение в скобках есть как раз величина x(t), взятая вдоль классической траектории x(t).
Задача 7.7. Покажите, что для любой квадратичной функции действия
x(t)
=
x
(t)
1.
(7.57)
В
качестве несколько менее тривиального примера попытаемся вычислить матричный элемент перехода x(t)x(s) для того же случая свободной частицы, что и выше. Поскольку этот матричный элемент есть уже функция двух моментов времени, можно записать его как f(t,s). Вторая производная по времени в этом случае равна^2f(t,s)
t^2
=
x(t)x(s)
.
(7.58)
Этот матричный элемент можно вычислить с помощью подстановки F=x(s) в уравнение (7.40). В случае s/=t, используя те же соображения, которые приводят к уравнению (7.42), получаем -(1/m)V'[x(t)]x(s), тогда как при s=t, повторив соображения, приводившие нас к соотношению (7.44), найдём, что матричный элемент перехода (7.58) является величиной порядка 1/. Переходя к пределу при ->0, имеем
m
^2f
t^2
=
mx(t)x(s)
=
h
i
(t-s)
–
V'[x(t)]x(s)
.
(7.59)
Поскольку в рассматриваемом случае свободной частицы потенциал не зависит от пространственных координат, то второй член в правой части выражения (7.59) равен нулю. Получившееся при этом уравнение можно решить, разбив область интересующих нас значений t на две части. В области, где t<s,
f
=
a(s)t
+
b(s)
,
(7.60)
а при t>s
f
=
A(s)t
+
B(s)
.
(7.61)
Таким образом, в точке t=s первая производная функции f по времени претерпевает скачок, равный A(s)-a(s); в соответсвии с уравнением (7.59) A(s)-a(s)=h/mi. Кроме того, следствием граничных условий являются равенства
x(0)x(s)
=
x
1
x(s)
=
x
1
x
(s)1
,
x(T)x(s)
=
x
2
x
(s)1
.
(7.62)
Этого ещё недостаточно для определения всех четырёх функций a, A, b и B, однако мы можем дополнительно использовать соотношение
^2f
s^2
=
h
mi
(t-s)
,
(7.63)
полученное дифференцированием функции f по переменной s, или учесть, что функция f(t,s) должна быть симметричной относительно переменных t и s. Отсюда следует, что a, A, b и B должны быть линейными функциями переменной s. Теперь граничных условий уже достаточно для определения решения, и мы получаем
x(t)x(s)
=
x
(t)
x
(s)
+
h
miT
s(T-t)
1 при s<t,
x
(t)
x
(s)
+
h
miT
t(T-s)
1 при s>t.
(7.64)
Легко видеть, что этот результат является правильным. Произведение двух классических траекторий x(t) и x(s), взятых в разные моменты времени, представляет собой решение, удовлетворяющее необходимым граничным условиям однородных уравнений, которые получаются, если приравнять нулю правые части (7.59) и (7.63). Последние члены в правой части соотношений (7.64) являются частными решениями неоднородных уравнений (7.59) и (7.63), обращающимися в нуль на концах интервала.