Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
h
F
S
xk
S
.
(7.33)
Это выражение имеет тот же смысл, что и соотношение (7.30). Более удобно записать его в дифференциальной форме
F
S
=-
i
h
FS
S
(7.34)
так как в этом случае можно не указывать переменных, от которых зависят функции F и S.
Задача 7.5.
§ 3. Матричные элементы перехода для некоторых специальных функционалов
Соотношение (7.34) имеет много интересных приложений. В этом параграфе мы проанализируем некоторые из них. При этом ограничимся частным случаем одномерного движения частицы под действием потенциала V[x(t)].
Предположим, что вдоль траектории частицы действие задаётся выражением
S=
t2
t1
mx^2
2
– V[x(t)]
dt
.
(7.35)
Если каждая траектория сдвигается на малую величину x(t), то в первом приближении
S
– =
t2
t1
[mx+V'[x(t)]
x(t)
dt
.
(7.36)
Из соотношения (7.34) в этом случае следует
F
S
=-
i
h
F
t2
t1
[mx+V'[x]
x(t)
dt
.
(7.37)
Это выражение можно получить и иначе, если встать на точку зрения, применявшуюся нами при выводе формулы (7.33); другими словами, если провести разбиение временного интервала на малые отрезки длиной . Действие S в этом случае запишется как
S
=
N-1
i=1
m
(xi+1– xi)^2
2
–
V(x
i
)
.
(7.38)
Если выбрать некоторый момент времени tk и, как прежде, обозначить через xk соответствующую точку траектории, то
S
xk
=
m
xk+1– xk
–
xk– xk-1
+
V'(x
k
)
.
(7.39)
Учитывая теперь (7.33), получаем
F
xk
S
=-
i
h
F
m
xk+1– 2xk+xk-1
^2
+
V'(x
k
)
.
(7.40)
В
этом последнем соотношении член, содержащий ^2 в знаменателе, фактически является ускорением x в момент времени tk. Поэтому соотношение (7.40) оказывается просто частным случаем выражения (7.37). Оно точно совпадает с последним, если вариация x(k) равна нулю для всех моментов t, отличных от tk. Если же в (7.37) положить x(k) равной xk(t-tk), то получим соотношение (7.40); поскольку оно справедливо для любых k, то фактически эквивалентно соотношению (7.37), являясь его более подробной записью.Пусть теперь в соотношении (7.37) мы положили F1. Тогда F=0 и
–
i
h
[mx
+V'(x)]
x(t)
dt
=0.
(7.41)
Так как этот результат должен быть верен для любого выбора функций x(t), то в любой момент времени будет выполняться равенство
mx
=-
V'(x)
.
(7.42)
Это выражение является квантовомеханическим аналогом закона Ньютона. Если для матричного элемента перехода воспользоваться классической аналогией, рассмотренной в § 1, то можно сказать, что в каждый момент времени произведение «средней взвешенной» массы на ускорение, «усреднённое» по всем траекториям с весом eiS/h, равно «среднему» значению силы (т.е. градиенту потенциала, взятому с обратным знаком) в тот же самый момент времени.
В качестве другого примера рассмотрим случай, когда F является произвольным (но не равным тождественно нулю) функционалом от всех пространственных переменных, исключая xk. Тогда левая часть соотношения (7.40) обращается в нуль (поскольку aF/atk=0) и мы имеем
F(
t
1
,t
2
,
…,
t
k-1
,t
k+2
,
…,
t
N
)
x
x
m
xk+1– 2xk+xk-1
^2
+
V'(x
k
)
=0.
(7.43)
Из этого соотношения видно, что усреднённый по всем тракториям матричный элемент выражения mx+V'(x) обращается в нуль в момент tk даже в том случае, если усреднение проводится с произвольным весом, лишь бы весовой функционал не зависел от точки траектории, относящейся к моменту tk.
Допустим теперь, что функционал зависит от этой точки; для простоты выберем его, например, равным xk. Применив соотношение (7.40), получаем
1
=
i
h
m
x
k
xk+1– 2xk+xk-1
^2
x
k
V'(x
k
)
=
=
i
h
m
x
k