Квантовая механика и интегралы по траекториям

x(t)

exp

i

h

fx

dt

=

i

h

f(t)

exp

i

h

(S'

_кл

– S

_кл

)

1

=

=

S'_кл

f(t)

exp

i

h

(S'

_кл

– S

_кл

)

1

.

(7.69)

Полагая в обеих частях этого равенства f(t)0, получаем

x(t)

=

1

S'_кл

f(t)

f0

.

(7.70)

Этот процесс можно продолжить до второй производной:

x(t)x(s)

=

i

h

^2

^2

f(t)f(s)

exp

i

h

(S'

_кл

– S

_кл

)

f0

1

=

=

1

i

h

^2S'_кл

f(t)f(s)

+

S'_кл

f(t)

S'_кл

f(s)

f0

.

(7.71)

Действительно, поскольку функция S'_кл квадратична только по переменной f [ср. выражение (3.66)], то матричный элемент перехода для произведения любого числа координат x' можно выразить непосредственно через производную S'_кл/f(t) и величину ^2S_кл/f(t)f(s), не зависящую от f. Все это, очевидно, следует из соотношений (7.64) и (7.65) и позволяет нам записать матричный элемент перехода для произведения трёх координат, что и будет сделано ниже.

Задача 7.10. Покажите, что если

x(t)

=

x

(t)

1

 и

x(t)x(s)

=

[

x

(t)

x

(s)

+

g(t,s)

]1

,

то для любого квадратичного функционала

x(t)x(s)x(u)

=

=

[

x

(t)

x

(s)

x

(u)

+

x

(t)

g(s,u)

+

x

(s)

g(t,u)

+

x

(u)

g(t,s)

]1

.

Найдите матричный элемент перехода произведения четырёх координат x, допустив, что поскольку S'_кл– S_кл квадратично по переменной f и равно нулю при f=0, то это выражение должно иметь вид

S'

_кл

– S

_кл

=

1

2

f(t)

f(s)

g(t,s)

dt

ds

+

x

(t)

f(t)

dt

,

где g и x - некоторые функции.

§ 5. Матричные элементы перехода и операторные обозначения

В этом и следующем параграфах покажем, как матричные элементы перехода выражаются в обозначениях, общепринятых для волновых функций и операторов. Это поможет тому читателю, который ранее встречался с другой формой записи, выразить результаты вычислений интегралов по траекториям в более привычном для себя виде.

Если функция F зависит только от переменной x и одного момента времени t [иными словами, если функция F совпадает с функцией V(x_k), взятой в момент времени t_k], то из соотношения (7.10) мы знаем, как в этом случае оценить элемент перехода. Подобным же образом [из выражения (7.15)] можно получить оценку для матричного элемента перехода, если функция F зависит от одной координаты x(t) и двух различных моментов.

Пусть функция F является некоторым импульсом, рассматриваемым в момент времени t_k. Воспользуемся уже известным нам приближением и разобьём ось времени на отрезки длины ; тогда

F

=

m

(x

_k+1

– x

_k

)

(7.72)

и, следовательно,

m

(x

_k+1

– x

_k

)

_S

=

m

(

|x

_k+1

|

_S

–

|x

_k

|

_S

).

(7.73)

Правую часть выражения (7.73) можно записать в виде

m

*(x,t+)

x

(x,t+)

dx

–

*(x,t)

x

(x,t)

dx

.

(7.74)

Воспользуемся теперь волновым уравнением. Из задачи 4.3 (гамильтониан H соответствует действию S) следует, что

(x,t+)

=

(x,t)

+

t

=

–

i

h

H

,

(7.75)

*(x,t+)

=

*(x,t)

+

*

t

=

*+

i

h

(H)*

.

(7.76)

Тогда в первом приближении по имеем

*(x,t+)

x

(x,t+)

dx

=

*(x,t)

x

(x,t)

dx

–

–

i

h

*(x,t)

x

[H(x,t)]

dx

–

[H**(x,t)]

x

(x,t)

dx

.

(7.77)

С помощью соотношения (4.30) последний интеграл можно записать как *(x,t)[Hx(x,t)]dx; упрощая, запишем в операторном виде

|mx|

=-

im

h

*

(xH-Hx)

dx

.

(7.78)

Это ничем не отличается от соотношения

–

i

h

m

*

h^2

m

x

dx

*

h

i

x

dx

,

(7.79)

где мы применили результат задачи 4.4. Оператор (h/i)(/x) обычно называется оператором импульса, или, точнее, оператором, представляющим x-компоненту импульса. Структура матричного элемента перехода для величины mx соответствует постановке оператора (h/i)(/x) между функциями * и ; аналогично в матричном элементе перехода для величины x мы помещаем x между теми же функциями. Эти соотношения можно понять глубже, если перейти к импульсному представлению. Пусть