Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
x(t),
x(t)
]
dt
.
(7.115)
Интеграл в этом выражении взят вдоль некоторой классической траектории между точками xi=x(ti) и xi+1=x(ti+1). Следовательно, в случае нашего одномерного примера можно с достаточной точностью записать
S[x
i+1
,t
i+1
;x
i
,t
i
]
=
m
2
xi+1– xi
ti+1– ti
^2
–
V(x
i+1
)
(t
i+1
– t
i
)
.
(7.116)
Константа
A
=
2hi(ti+1– ti)
m
1/2
.
(7.117)
Выясним теперь связь гамильтониана H с изменением состояния при небольшой вариации времени. Рассмотрим для этого состояние (t), определённое в пространственно-временно'й области R. Представим себе, что в тот же самый момент времени t мы рассматриваем другое состояние (t), определённое в области R. Пусть область R пространственно совпадает с R, но относится к более раннему моменту времени, сдвинутому в прошлое на интервал . Все устройства, необходимые для локализации системы в области R, совершенно тождественны тем, которые локализуют систему в области R, но начинают действовать на интервал времени t= раньше. Если лагранжиан L явно зависит от времени, то на нем также скажется этот сдвиг, т.е. состояние , соответствующее L, будет таким же, как и состояние , с той лишь разницей, что при написании L мы пользуемся в качестве времени переменной t+.
Зададим теперь вопрос: чем состояние отличается от состояния ? При любых измерениях вероятность пребывания системы в любой конкретной области R' зависит от того, какая из двух областей (R или R) была принята за исходную. Определим изменение амплитуды перехода |1| вызываемое сдвигом во времени. Этот сдвиг можно рассматривать как смещение, которое происходит благодаря уменьшению всех значений ti, у которых i<=k, на величину ; если же i>k, то все ti сохраняются.
Читателю, который заглянет несколько вперёд, может показаться, что мы намеренно создаём для себя трудности. Ясно, что все наши усилия в конце концов должны свестись к тому, чтобы перейти к пределу, устремив к нулю все отрезки нашего разбиения оси времени. Однако здесь следует указать наконец, что, во всяком случае, один из интервалов tk+1– tk имеет нижнюю границу и не может быть бесконечно уменьшаем. Эту трудность удаётся обойти, если предположить, что временно'й сдвиг сам должен быть функцией времени. Можно представить себе, что эта величина монотонно возрастает до момента t=tk, а потом монотонно убывает. Тогда, полагая вариацию равномерной, можно монотонно устремить к нулю все интервалы времени, включая и tk+1– tk. Затем рассмотрим эффект первого порядка, перейдя к пределу при ->0. Результат, полученный этим более строгим способом, оказывается в сущности тем же, что и в предыдущем примере.
Возвращаясь теперь к нашему рассмотрению эффекта, вызванного сдвигом времени, мы видим, что определённая соотношением (7.115) функция действия S[xi+1,ti+1;xi,ti] сохраняется до тех пор, пока моменты ti+1 и ti изменяются на одну и ту же величину.
С другой стороны, функция S[xk+1,tk+1;xk,tk] переходит в S[xk+1,tk+1;xk,tk– ]. Более того, константа нормировки в интеграле по dxi также изменится и будет иметь видA
i
=
2hi(tk+1– tk+)
m
1/2
.
(7.118)
Для определения амплитуды вероятности перехода применим соотношение (7.2). Вспоминая, что интеграл по траекториям зависит как от функции действия S, так и от константы нормировки A (обе эти величины изменяются при нашем сдвиге времени), можно изменение амплитуды перехода с точностью до первого порядка по записать в виде
|1|
–
|1|
=
S[xk+1,tk+1;xk,tk]
ti
+
+
h
2i(tk+1– tk)
i
h
.
(7.119)
Второй член в этом выражении соответствует изменению константы A. Функционал, отвечающий гамильтониану квантовой механики, определим как
H
i
=
S[xk+1,tk+1;xk,tk]
tk
+
h
2i(tk+1– tk)
.
(7.120)
Первый член в правой части последнего выражения совпадает с определением классического гамильтониана. Второй член необходим для того, чтобы в квантовомеханичёском случае величина Hk оставалась конечной при стремлении интервала tk+1– tk к нулю. Этот член получается вследствие изменения константы нормировки A, обусловленного сдвигом времени .
Применяя полученный результат к частному случаю одномерного движения [см. выражение (7.116)], можно записать
H
k
=
m
2
xk+1– xk
tk+1– tk
^2
+
h
2i(tk+1– tk)
+
V(x
k+1
)
=
=
m
2
xk+1– xk
tk+1– tk
xk– xk-1
tk– tk-1
+
V(x
k
)
.
(7.121)
Второе из этих соотношений получено с учётом равенства (7.54). Записав произведение скоростей в виде произведения их значений, относящихся к последовательным моментам, мы можем устранить член h/[2i(tk+1– tk)].