Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(p)
=
–
(x)
e
– (i/h)px
dx
,
(p)
=
–
(x)
e
– (i/h)px
dx
(7.80)
являются импульсным представлением функций и ; тогда можно показать, что
–
*(x)
h
i
(x)
x
dx
=
–
*(p)
p(p)
dp
.
(7.81)
Задача 7.11.
Есть и другой путь к пониманию этого соотношения. Рассмотрим амплитуду вероятности перехода, определяемую выражением
|1|
=
*(x
N
,t
N
)
K(x
N
,t
N
;x
1
,t
1
)
(x
1
,t
1
)
dx
1
dx
N
.
(7.82)
Предположим далее, что вся ось x1 смещена вправо на малый отрезок . Обозначив новую координату x'1, имеем
x
1
=
x'
1
–
.
(7.83)
Заменив старые переменные x1 на новые, мы не изменим амплитуду перехода, определяемую соотношением (7.82):
|1|
=
–
–
xN
x'1
(x
N
,t
N
)
exp
i
h
N-1
i=2
S
[x
k+1
,t
k+1
;x
k
,t
k
]
+
+
i
h
S
[x
2
,t
2
;x'
1
–
,t]
(x'
1
–
,t)
Dx(t)
dx'
1
dx
2
,
(7.84)
где интеграл по траекториям явно выражен при помощи методики, применявшейся ранее в соотношении (2.22).
Разложим теперь функции S[x2,t2;x'1– ,t] и (x'1– ,t) в ряд Тейлора, где сохраним лишь члены первого порядка. Тогда подынтегральная экспонента сведётся к выражению
exp
N-1
i=2
i
h
S
[x
k+1
,t
k+1
;x
k
,t
k
]
x
x
1-
i
h
x'1
S[x
2
,t
2
;x'
1
,t
1
]
.
(7.85)
В
интеграле, определяющем амплитуду перехода, можно опустить штрих, поскольку x'1 — переменная интегрирования. Тогда соотношение (7.84) примет видx|1|
=
*(2)
K(2,1)
(1)
dx
1
dx
2
–
i
h
*(2)
K(2,1)
x
x
1
x1
S[x
2
,t
2
;x
1
,t
1
]
+
h
i
x1
(x
1
,t
1
)
dx
1
dx
2
,
(7.86)
где мы предположили, что точка x2 находится на траектории x(t) и отстоит на интервал от точки x1 т.е. что t2=t1+.
Первый член в правой части соотношения (7.86) совпадает с амплитудой вероятности перехода в левой части. Это значит, что второй член равен нулю; но он представляет собой комбинацию двух матричных элементов перехода. Поэтому
–
x1
S[x
2
,t
1
+;x
1
,t
1
]
=
|1|
h
i
(x1,t1)
x1
.
(7.87)
В согласии с выражением (2.22) мы применили здесь классическое действие вдоль каждого участка траектории. Поэтому функция S[2,1], появляющаяся в соотношении (7.87), является классической функцией действия для начала траектории. Её производная по x1 (взятая с обратным знаком) равна классическому значению импульса от x1. Следовательно, можно написать
|p
1
|
=
|1|
h
i
x1
.
(7.88)
что совпадает с результатом, полученным в соотношениях (7.78) и (7.79).
В случае усложнения функции действия S, что может произойти, если частично исключить взаимодействие, надо ввести функционал p(t), соответствующий импульсу в момент времени t. В § 4 было дано общее определение этого функционала. Вариация амплитуды перехода |1| (в первом приближении, когда все координаты, соответствующие предшествующим моментам t, смещены на -) равна произведению этого сдвига на матричный элемент |p(t)|. Отсюда для сколь угодно сложной функции S можно найти функционал от импульса. Аналогично может быть определён гамильтониан (и функционал от энергии), если ввести подобный сдвиг в переменные времени, как это делалось в § 7 гл. 7.