Квантовая механика и интегралы по траекториям

Матричный элемент перехода от произведения двух пространственных координат, взятых для двух различных моментов, является не просто выражением для произведения двух соответствующих положений на классической траектории. Он содержит малый добавочный член, который имеет чисто квантовую природу. Этот дополнительный член вполне совместим с нашей картиной квантовомеханического движения. Хотя частица, движущаяся между фиксированными точками на концах интервала, в среднем будет находиться на классической траектории, тем не менее она имеет определённую амплитуду вероятности для движений по каждой из возможных траекторий. Этот факт необходимо помнить, когда рассматривается матричный элемент перехода от произведения пространственных координат, взятых для двух различных моментов. В этом матричном элементе должны быть учтены все возможные положения частицы на альтернативных траекториях; это обстоятельство и даёт нам дополнительный член. Альтернативы совпадут лишь в фиксированных точках интервала.

Можно лучше понять смысл этого утверждения, если снова применить нашу классическую аналогию. Предположим, что траектория частицы проходит через некоторую точку с координатой x, абсолютное значение которой велико в момент времени s. Тогда «среднее» значение переменной x для более позднего момента времени t не является уже обычным средним значением траектории x(t); в этом случае налицо корреляция с предыдущим большим отклонением. Поэтому «среднее» значение произведения не является просто произведением «средних».

Здесь и в других приложениях классической аналогии нужно помнить, что термин «среднее» относится к величине, определяемой с помощью весовой функции e^iS/h. Эта экспонента не будет строго положительна, а в общем случае является комплексной величиной. Таким образом, мы получим чисто квантовый результат, подобный соотношению (7.64), где дополнительный корреляционный член является чисто мнимым.

Задача 7.8. Найдите матричный элемент перехода от произведения x(t)x(s)=f(t,s) в случае, когда потенциал не остаётся постоянным, а соответствует потенциалу сил, действующих на гармонический осциллятор. Получите дифференциальные уравнения для функции f и попытайтесь найти решение

f(t,s)

=

[

x

(t)

x

(s)

+

g(t,s)

]1.

(7.65)

Получите уравнение для g(t,s), показав, что g не зависит от значений координат конечных точек t₁ и t₂ и вида силы [производной от потенциала (t)]. Покажите, что вообще при T=t₂– t₁.

g(t,s)

=

h

mi sin iT

sin s

sin (T-t)

при s<t,

g(t,s)

=

h

mi sin iT

sin t

sin (T-s)

при t<s.

(7.66)

§ 4. Общие соотношения для квадратичной функции действия

Если функция действия S имеет квадратичную форму, то очевидно, что матричные элементы перехода для многих функционалов могут быть определены достаточно просто. Стало быть, можно попытаться обобщить наши исследования на некоторые функционалы более общего вида. Методика такого обобщения была уже описана в § 5 гл. 3. Заметим, например, что если действие S квадратично, то матричный элемент перехода функционала можно представить в виде e^i/hf(t)x(t)dt, где f(t) — произвольная функция времени. Его можно выразить интегралом

exp

i

h

f(t)x(t)

dt

=

_b

^a

exp

i

h

S+

f(t)x(t)

dt

Dx(t)

.

(7.67)

Если исходное действие S выражено функцией Гаусса, то новое действие

S'

=

S+

f(t)x(t)

dt

.

Теперь интеграл по траекториям в правой части выражения (7.67) может быть вычислен известными нам методами (§ 5 гл. 3). Обозначив через S'_кл экстремум действия S', вынесем в (7.67) множитель exp(iS'_кл/h) за интеграл. Под интегралом остаётся функция, интегрируемая вдоль траектории y(t) от точки y(0)=0 до точки y(T)=0, т.е. от начала до конца интервала (здесь мы полагаем x=x+y, где x — классическая траектория, соответствующая экстремуму действия).

Интеграл вдоль траектории y не зависит от функции f(t), поскольку она входит в действие S' как коэффициент перед линейным членом x(t). Мы уже видели [см. выражение (3.49)], что в оставшуюся часть такого интеграла входят лишь квадратичные члены функции S', которые представляют собой не что иное, как квадратичную часть функции S. Поэтому интеграл по траектории в правой части соотношения (7.67) превращается в экспоненту, умноженную на матричный элемент перехода 1. В результате получаем

exp

i

h

f(t)x(t)

dt

=

exp

i

h

S'

_кл

– S

_кл

1.

(7.68)

Мы уже рассматривали экстремум функции S'_кл. Отсюда можно получить экстремум функции S_кл, если положить f(t) тождественно равной нулю. Заметим, что действие для гармонического осциллятора, определяемое выражением (3.68), является частным случаем функции действия S'_кл.

Задача 7.9. Используя полученный выше результат, покажите, что если функция S соответствует гармоническому осциллятору, т.е.

S

=

m

2

x^2

dt

–

m^2

2

x^2

dt

,

то

exp

i

h

f(t)x(t)

dt

=

1

exp

i

h

m

2sin (t₂– t₁)

x

x

2x₂

m

_t2

^t₁

f(t)

sin (t-t

₁

)

dt

+

2x₁

m

_t2

^t₁

f(t)

sin (t

₂

– t)

dt

–

–

2

m^2^2

_t2

^t₁

_t

^t₁

f(t)

f(s)

sin (t

₂

– t)

sin (t-t

₁

)

ds

dt

,

где x₁, x₂,— начальные и конечные координаты для осциллятора.

Из матричного элемента перехода, заданного выражением (7.68), можно получить элемент перехода для координаты x(t). Продифференцируем для этого соотношение (7.68) по f(t):