Квантовая механика и интегралы по траекториям

Нетрудно видеть, что все наши выводы согласуются между собой, если мы будем рассматривать набор возбуждённых состояний осциллятора как набор фотонов, а сами фотоны считать бозе-частицами. Тогда единичное состояние n_a=1, n_b=1 соответствует ситуации, когда имеются два фотона — один в состоянии a, а другой в состоянии b. Их перестановка не приводит к новому состоянию.

Для электронов с параллельными спинами или для других тождественных ферми-частиц амплитуды, наоборот, вычитаются:

(x,y)

=

f(x)

g(y)

–

g(x)

f(y)

.

(9.39)

Волновая функция системы двух ферми-частиц всегда антисимметрична: (x,y)=-(y,x). Поэтому такая система не безразлична по отношению к перестановке частиц. В самом деле, если в формуле (9.39) положить f=g, то получим (x,y)=0. К фотонам и -частицам это не относится; подобный случай у фотонов соответствует состояниям осциллятора с n=2.

Можно указать один частный случай, когда с помощью некоторой идеализации электромагнитное поле в присутствии вещества удаётся описать ненамного сложнее, чем поле в вакууме. Это случай полого резонатора (или волновода), стенки которого можно считать идеально проводящими. Как хорошо известно из классической теории, при этом возникает набор мод с более или менее сложным распределением электромагнитных полей. Классическая функция действия и в этом случае сводится к функции действия для совокупности свободных осцилляторов, но переменные здесь представляют собой амплитуды различных мод, а не амплитуды плоских бегущих волн. Далее эти осцилляторы квантуются, и можно говорить о числе фотонов, соответствующем каждой моде.

§ 3. Основное состояние

Энергия вакуума. Состояние электромагнитного поля с наинизшей возможной энергией, которое мы будем называть основным или вакуумным,— это состояние, в котором у всех осцилляторов все n равны нулю и нет фотонов никаких мод. Это значит, что энергия каждого осциллятора равна h/2, где — его собственная частота. Если теперь просуммировать эту энергию основного состояния по бесконечному числу всех возможных мод с возрастающей частотой (а число мод не ограничено даже для резонатора конечных размеров), то подобная сумма будет расходиться. Мы натолкнулись на первую из трудностей, которые появляются в квантовой электродинамике.

В нашем случае (для вакуумного состояния) эта трудность легко устранима. Предположим, что при измерении энергии мы выбираем различные начала отсчёта. Так как постоянная добавка ко всем энергиям не приводит ни к каким физическим эффектам, то произвольный выбор нулевого значения энергии не будет влиять на результаты любого проводимого нами эксперимента. Поэтому мы положим энергию вакуумного состояния равной нулю. Тогда полная энергия произвольного состояния электромагнитного поля определится формулой

E

=

n

_j

h

_j

,

^j

(9.40)

где суммирование проводится по всем модам поля. К сожалению, в реальном случае нельзя отсчитывать энергию от совершенно произвольного значения. Энергия эквивалентна массе, а с массой связана гравитация. Даже на свет действуют гравитационные силы (например, луч света отклоняется притяжением Солнца). Следовательно, если закон равенства действия противодействию справедлив хотя бы качественно, то и Солнце должно притягиваться фотонами, а это значит, что с каждым фотоном, энергия которого равна h, связано некоторое гравитационное поле. Тогда возникает вопрос: не приводит ли к такому же эффекту и член, соответствующий энергии основного состояния? Физически этот вопрос формулируется так: не образует ли вакуум гравитационного поля, подобного полю массы, распределённой с постоянной плотностью?

Так как большая часть пространства — вакуум, то эффект, обусловленный вакуумной энергией электромагнитного поля, был бы значителен. Мы можем оценить его величину. Предварительно заметим, что в квантовой электродинамике встречается ещё одна расходимость, отличная от рассматриваемой и устраняемая при помощи специального предположения, называемого правилом обрезания. Согласно этому правилу, моды с очень большими частотами (т.е. с очень малыми длинами волн) должны исключаться из рассмотрения. Мы действительно не знаем, выполняются ли законы электродинамики для длин волн, существенно меньших, чем наблюдаемые в настоящее время. К тому же сейчас есть достаточно оснований полагать, что эти законы нельзя распространить на всю коротковолновую область.

Математические выражения, которые довольно хорошо применимы при больших длинах волн, приводят к расходимостям в коротковолновой области. Предельные длины доступных нам сейчас волн имеют порядок комптоновской длины волны протона: h/Mc2·10^{– 14} см.

Возвращаясь к нашей оценке, допустим, что мы суммируем по всем волновым числам, меньшим некоторого предельного значения k_максMc/h. Заменяя приближённо сумму по состояниям на интеграл, получаем плотность энергии вакуумного состояния

E₀

ед. объёма

=2

hc

2(2)^3

_kмакс

⁰

k

·

4k^2

dk

=

hck

₄

^макс

8

₂

(9.41)

(заметим, что множитель 2 появился вследствие того, что каждому значению k отвечают две моды соответственно двум возможным поляризациям). Масса, эквивалентная этой энергии, получается делением на c^2, что даёт

m₀

ед. объёма

=

2·10

¹⁵

г/см^3

.

(9.42)

Можно было бы ожидать (по крайней мере так кажется на первый взгляд), что при такой плотности гравитационные эффекты велики, чего в действительности не наблюдается. Возможно, что наш расчёт слишком упрощённый, и если бы мы использовали все выводы общей теории относительности (такие, например, как гравитационные эффекты, обусловленные большими давлениями, которые здесь подразумеваются), гравитационные эффекты могли бы исчезнуть, однако все это никем ещё не проделано. Возможно, найдётся такое правило обрезания, которое не только даст конечную плотность энергии вакуумного состояния, но и позволит сделать это релятивистски-инвариантным образом. Сейчас совершенно не ясно, к чему все это приведёт.

Поэтому будем пока просто считать плотность энергии вакуумного состояния равной нулю. До сих пор не было ни одного эксперимента, который противоречил бы такому допущению. При дальнейшем изучении квантовой электродинамики нам встретятся интегралы с расходимостями других типов, причём устранение будет значительно сложнее.

Волновая функция вакуумного состояния. Волновая функция совокупности осцилляторов представляется в виде произведения всех волновых функций всех мод. Волновая функция основного состояния осциллятора, соответствующего фотону с поляризацией 1 и волновым числом k, пропорциональна экспоненте exp [-(ck/2h)/a*_1ka_1k]. Поэтому с точностью до нормировочной постоянной волновая функция основного, или вакуумного, состояния всей системы равна

₀

= exp

–

^k

kc

2h

(

a

_*

^1k

a

^1k

+

a

_*

^2k

a

^2k

)

.

(9.43)

Задача 9.6. Покажите, используя синусоидальные и косинусоидальные моды с действительными переменными, что последнее выражение, в которое входят комплексные переменные, действительно является справедливым (ср. задачу 8.4).