Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(9.30)
и запишем S=Sчаст+Sвзаим+Sполе. Таким образом мы разделили действие S3 для электромагнитного поля на две части. Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовём действием Sполе, которое соответствует полю излучения (учёт излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится,
S
поле
=
(
a
*
1k
a
1k
–
k^2c^2
a
*
1k
a
1k
+
a
*
2k
a
2k
–
k^2c^2
a
*
2k
a
2k
)
d^3kdt
(2)^3
,
(9.31)
а это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно
S
взаим
=
4
(
j
1,-k
a
1k
+
j
2,-k
a
2k
)
d^3kdt
(2)^3
.
(9.32)
Простая вариация полного действия S по переменным a1k и a2k даёт уравнения движения (9.21) и (9.22).
В развёрнутом виде действие Sвзаим записывается так:
S
взаим
=
4
j
(
a
1k
q
1j
+
a
2k
q
2j
)
e
ik·qj(t)
d^3kdt
(2)^3
,
(9.33)
где q1j и q2j — поперечные (по отношению к вектору k) компоненты вектора qj. Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие S, представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными qj(t), a1k(t), a2k(t). Переход к квантовой электродинамике осуществляется путём интегрирования по этим траекториям экспоненты eiS/h и рассматривается в § 2.
§ 2. Квантовая механика поля излучения
Наше рассмотрение мы начнём с квантовой механики поля излучения в пустом пространстве. В условиях вакуума полное действие содержит лишь часть, связанную с полем излучения
S
=
S
поле
(9.34)
которая имеет вид (9.31) и, очевидно, соответствует действию S для совокупности гармонических осцилляторов. В гл. 8 уже рассматривался ряд примеров с выражениями типа (9.31).
Предположим,
что к квантовой электродинамике можно перейти, рассмотрев эти осцилляторы как квантовомеханические; справедливость такого допущения тоже обсуждалась нами в гл. 8. Каждому значению k в нашей системе соответствуют две бегущие волны с поляризацией 1 и 2 и частотой =kc. Для каждой из этих волн (например, волны с амплитудой a1k) возможные энергетические уровни будут равныE
1k
=
n
1k
+
1
2
hkc
,
(9.35)
где n1k — произвольное положительное целое число или нуль.
Если n1k=1, то говорят, что имеется один фотон с поляризацией 1 и импульсом hk. В общем случае мы имеем n1k таких фотонов, и энергия каждого из них равна hkc.
Задача 9.5. Пусть импульс электромагнитного поля задаётся в виде (1/4c)ExBd(объём). Покажите, что в вакууме (при этом k=0 последнее выражение равно k(a*k·ak)d^3k/(2)^3.
Позднее, при рассмотрении взаимодействия вещества с полем излучения, обнаружится, что вещество излучает или поглощает энергию отдельными фотонами с энергией h. Это, очевидно, согласуется с первоначальной гипотезой Планка.
Тот факт, что n-е состояние осциллятора можно рассматривать как совокупность n «частиц» или «фотонов», кажется очень поразительным и неожиданным; однако значения энергии в обоих описаниях совпадают. Вместе с тем существует одно обстоятельство, на которое стоит обратить внимание до того, как мы начнём описывать поведение совокупности частиц состояниями осциллятора. Допустим, что из всех чисел nj отличны от нуля лишь два (например, na=1, nb=1). Эту ситуацию мы вправе интерпретировать двумя фотонами, один из которых находится в состоянии a, а другой — в состоянии b. Однако при таком подходе существуют два допустимых описания, отвечающих одной и той же энергии; в самом деле, ничто не мешает нам считать, что первый фотон находится в состоянии b, а второй — в состоянии a. Чтобы найти выход из этого положения, рассмотрим конкретный пример. Пусть мы имеем две -частицы, координаты которых обозначим соответственно через x и y; состояние частицы x будем описывать функцией f(x), а частицы y — функцией g(y). Тогда волновая функция системы выражалась бы функцией двух переменных: x и y:
(x,y)
=
f(x)
g(y)
.
(9.36)
Обратной ситуации, когда частица y находится в состоянии f, а частица x — в состоянии g, соответствует другая волновая функция:
(x,y)
=
g(x)
f(y)
,
(9.37)
которая, вообще говоря, отличается от первой. Но если наши частицы полностью тождественны, как это имеет место в случае -частиц, то эти два состояния неразличимы. Мы уже говорили в гл. 1, что в квантовой механике должно быть правило (не зависящее от уравнения Шрёдингера), согласно которому амплитуды для двух случаев, различающихся лишь перестановкой -частиц, всегда следует суммировать. При этом система описывается единственной волновой функцией
(x,y)
=
f(x)
g(y)
+
g(x)
f(y)
(9.38)
(нормированной соответствующим образом: если f и g ортонормальны, то нормировочная константа равна 1/2; если же они равны и нормированы, то эта константа равна 1/2 ). Вообще (x,y)=(y,x) для -частиц и всех других частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Система двух таких частиц всегда описывается единственным образом, и при этом не различается, какая именно из них находится в состоянии f, а какая в состоянии g.