Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
a
1k
+
k^2c^2
a
1k
=
4
j
2k
,
(9.21)
a
2k
+
k^2c^2
a
2k
=
4
j
2k
,
(9.22)
где j1k и j2k — компоненты вектора тока jk по соответствующим направлениям (спрашивается,
Принцип наименьшего действия. В квантовой электродинамике 1) предполагается, что описываемые уравнениями (9.21) и (9.22) осцилляторы являются квантовыми. Чтобы выполнить квантование, нужно записать принцип наименьшего действия, который даёт нам уравнения электромагнитного поля и уравнения движения частиц в этом поле. Определим полное действие как сумму
S
=
S
1
+S
2
+S
3
.
(9.23)
1) Следует указать, что ряд физиков применяет термин «квантовая электродинамика» в более широком смысле, включая в это понятие теорию электрон-позитронных пар. Мы не занимаемся этой проблемой и поэтому слова «квантовая электродинамика» означают здесь просто теорию квантования электромагнитного поля.
Здесь
S
1
=
i
mi
2
|q
i
|^2
dt
(9.24)
— действие для всех частиц без учёта поля (если между частицами действуют и другие силы, кроме электромагнитных, их также следует включить в действие S1);
S
2
=
(R,t)
(R,t)
–
1
c
j(R,t)
·
A(R,t)
d^3R
dt
=
=
i
e
i
(q
i
(t),t)
–
1
c
q
i
(t)
·
A(q
i
(t),t)
dt
(9.25)
— действие, описывающее взаимодействие поля и частиц;
S
3
=
1
8
(E^2-B^2)
d^3R
dt
=
=
1
8
– -
1
c
A
t
^2
–
|xA|^2
d^3R
dt
(9.26)
— действие свободного поля. В этих выражениях нужно варьировать функции A(R,t), (R,t) и qi(t).
Задача 9.4. В § 1 гл. 2 мы обсуждали вывод уравнений движения классической механики из условия экстремальности действия (S=0 с точностью до первого порядка в разложении по q). Покажите, что уравнения Максвелла можно вывести с помощью действия, заданного выражением (9.23), если потребовать выполнения условия S=0 в первом порядке вариаций по переменным A и .
Так как уравнения электродинамики
имеют наиболее простой вид в переменных ak, то удобно выразить и действие в этих переменных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия S3 даётS
3
=
1
2
a
k
+
ik
k
4
– c^2
|kxa
k
|^2
^2
d^3kdt
(2)^3
=
=
1
2
2
k
k^2
4
+
a
*
k
·
a
k
–
k^2c^2
a
*
k
·
a
k
d^3kdt
(2)^3
,
(9.27)
а действие S2 при этом принимает вид
S
2
=
(
– k
k
–
4
j
– k
·
a
k
)
d^3kdt
(2)^3
.
(9.29)
После подстановки в эти выражения фурье-образа потенциала k=4k/k^2 члены, содержащие k, дают в сумме
S
c
=-
4
2
k– k
k^2
d^3k
(2)^3
=-
1
2
i
j
eiej
|qi– qj|
.
(9.29)
Здесь мы воспользовались формулой (9.16), а также значением интеграла (4/k^2)[exp(ik·R)]d^3k=1/R. Выражение (9.29) в точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитным излучением.
Включим его в функцию действия для частиц
S
част
=
S
1
+
S
c
=
i
mi
2
q
2
i
–
1
2
j
eiej
|qi– qj|