Квантовая механика и интегралы по траекториям

(9.10)

Если =0, то =0 и E=-(1/c)(A/t). При этом из уравнения (9.3), если j=0, следует

^2A

–

1

c^2

^2A

t^2

=0

(9.11)

[так как x(xA) = (·)-^2A]. Таким образом, каждая компонента вектора A удовлетворяет волновому уравнению.

Если разложить вектор А в ряд по бегущим плоским волнам

A(R,t)

=

a

_k

(t)

e

^ik·R

(9.12)

то уравнение для амплитуды a_k запишется как a_k; отсюда следует, что каждая компонента a_k — амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой =kc. Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора a_k в направлении k должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде

k·a

_k

=0.

(9.13)

Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных гармонических осцилляторов, причём каждому значению k будут соответствовать две поперечные волны.

Задача 9.1. Покажите, что в плоской волне векторы E, B и k взаимно перпендикулярны.

Решение уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы A и , а также плотности заряда и тока по плоским волнам:

A(R,t)

=

4

c

a

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

(R,t)

=

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

j(R,t)

=

j

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

(R,t)

=

_k

(t)

e

^ik·R

d^3k

(2)^3

,

(9.14)

Задача 9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду e, находящемуся в точке q(t) в момент времени t, имеет вид

(x,y,z,t)

=

e

[x-q

_x

(t)]

[y-q

_y

(t)]

[z-q

_z

(t)]

=

e

^3[R-q(t)]

.

Покажите, что фурье-образ плотности заряда

_k

=

e

e

^ik·q(t)

.

(9.15)

Легко видеть, что плотность тока j(R,t) равна eq(t)^3[R-q(t)]. Если мы имеем систему зарядов e_i, расположенных в точках q_i(t), то выражения для _k и j_k запишутся в виде

_k

=

ⁱ

e

_i

e

^{– ik·q_i(t)}

,

j

_k

=

ⁱ

e

_i

q(t)

e

^{– ik·q_i(t)}

.

(9.16)

При этом условие (9.13) остаётся справедливым, и им можно воспользоваться для упрощения некоторых выражений. Коэффициент разложения вектора B равен B_k=4ci(kxa_k), соответствующий коэффициент для вектора E равен E_k=-ik_k– 4a_k, наконец, коэффициент разложения ·E имеет вид ik·E_k=k^2_k, поэтому

k^2

_k

=

4

_k

(9.17)

или _k=4_k/k^2. Функция _k полностью определяется плотностью заряда _k, и при этом нет необходимости решать какие-либо динамические дифференциальные уравнения, содержащие, например, _k.

Задача 9.3. Докажите, что соотношение _k=4_k/k^2 означает следующее: величина _k в любой момент времени t представляет собой кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например, плотность соответствует некоторой совокупности зарядов e_i, отстоящих на расстояние r_i от некоторой точки, то потенциал в этой точке равен

e

_i

/r

_i

.

ⁱ

Именнов этом и заключается смысл уравнения (9.10).

Уравнение (9.3), которое нужно ещё решить, запишем в виде

ikxB

_k

=

1

c

E

_k

+

1

c

4

j

_k

.

(9.18)

При этом учтём, что ikxB_k = -4ckx(kxa_k) = 4ck^2a_k и E_k = -ik_k– 4a_k. Далее, применив равенство (9.17), заменим _k на 4_k/k^2 и будем иметь

a

_k

+

k^2c^2

a

_k

=

4

j

_k

–

ik_k

k^2

=

4

j'

_k

,

(9.19)

где величину j'_k = j_k– ik_k/k^2 можно назвать поперечной частью тока j_k. Из закона сохранения тока (9.6) следует, что _k=-ik·j_k, поэтому

j'

_k

=

j

_k

–

k(k·j_k)

k^2

.

(9.20)

Последнее равенство означает, что j'_k равно разности тока j_k и его компоненты по направлению вектора k. Очевидно, k·j'_k=0.

Мы, безусловно, существенно упростили уравнения Максвелла, и если не считать мгновенного кулоновского взаимодействия между частицами, то для каждого значения вектора k вся картина свелась к уравнениям для двух поперечных волн. Амплитуда колебаний каждой волны описывается гармоническим осциллятором, на который действует сила, равная компоненте тока по соответствующему направлению. Другими словами, если выбрать два направления, перпендикулярных вектору k, и обозначить компоненты a_k по этим направлениям как a_1k и a_2k, то уравнения Максвелла запишутся в виде