Логика и рост научного знания
Шрифт:
ходе некоторого рассуждения, которое требует време-
посредством конструирования понятий» [31, с. 604]. «Конструирова-
ни, шаг за шагом развертываем нашу аргументацию.
ние понятий» в дальнейшем объясняется следующим образом: «Мы
можем свои понятия определить a priori в созерцании, создавая себе·
Кант защищает (направленную против Декарта) в пространстве и времени посредством однородного синтеза самые
концепцию, состоящую в том, что мы не владеем cnoj предметы» [31, с. 607].
собностью
19 См. у Канта место, где он говорит о доказательствах в мате-
причине наш интеллект, наши понятия остаются пус-
матике («даже в алгебре») : «Все выводы гарантированы от ошибок: тем, что каждый из них показан наглядно» [31, с. 614]. Кант говорит
тыми или аналитическими, если они в действительности
также о «цепи выводов», в которой философ «руководствуется все
не применены к материалу, который поставляют нам
время созерцанием» '[31, с. 602]. В том же самом разделе слово «кон-
наши чувства (чувственная интуиция), или если они
струировать» объясняется как «представить a priori в созерцании»·
[31, с. 601].
468
469
•сунок треугольника может выступать для нас (в одном
ее лингвистическим выражением и ее коммуникативной
рисунке) в виде бесконечного количества возможных
функцией.Математику саму по себе он рассматривал
вариантов треугольников всех форм и размеров.
как внелингвистическую деятельность, по существу, Аналогичные рассуждения справедливы и для ариф-
деятельность мысленного конструирования на основе
метики, которая, согласно Канту, основывается на сче-
нашей чистой интуиции времени. Посредством такого·
те— процессе, в свою очередь основывающемся, по су-
конструирования мы создаем в нашей интуиции, в на-
ществу, на чистой интуиции времени.
.—тем уме объекты математики, которые впоследствии —
Эта теория источников математического знания в
после их создания — мы можем попытаться описать или
своей кантовской форме порождает серьезные труд-
сообщить о них другим. Таким образом, лингвистиче-
ности. Даже если мы примем, что все сказанное Кан-
ское описание и дискурсивная аргументация со своей
том правильно, мы не можем уйти от трудных про-
. логикой появляются, в сущности, после математической
блем, ибо евклидова геометрия, независимо от того, деятельности: они всегда имеют место только тогда, использует она чистую интуицию или нет, несомненно, когда объекты математики — такие, как доказатель-
опирается на интеллектуальную аргументацию, логиче-
ство, — уже созданы.
скую дедукцию. Невозможно отрицать, что математика
Подход Брауэра решает проблему, которую мы об-
оперирует дискурсивным мышлением.Ход рассуждений
чНаружили
в кантовской «Критике чистого разума». То, Евклида осуществляется шаг за шагом во всех сужде-что на первый взгляд выступает противоречием у Кан-
ниях и во всех книгах: он не постигается в одно-един-
та, упраздняется, самым оригинальным способом посред-
ственное интуитивное мгновение. Даже если мы допу-
ством концепции, согласно которой мы должны четко
стим (ради аргументации) необходимость наличия чис-
различать два уровня: один уровень — интуитивный, той интуиции в каждом отдельном шаге рассуждений
мысленный и присущ математическому мышлению, дру-
без исключения(а это допущение для современных
гой — дискурсивный, лингвистический и присущ только
людей трудно сделать), ступенчатая, дискурсивная и
коммуникации.
логическая процедура выводов Евклида настолько без-
Подобно любой великой теории, ценность этой тео-
ошибочна и хорошо известна в целом, найдя подража-
рии Брауэра проявляется в ее продуктивности. Она од-
телей в лице Спинозы и Ньютона, что трудно подумать
ним усилием решает три группы крупных проблем фи-
о том, что Кант мог игнорировать это. Фактически
лософии математики.
Кант знал все это, вероятно, так же, как любой дру-
(1) Эпистемологические проблемыоб источнике ма-
гой. Однако указанная позиция довлела над ним (1) в
тематической достоверности, природы математических
силу структуры «Критики чистого разума», в которой
данных и природы математического доказательства.
«Трансцендентальная эстетика» предшествует «Транс-
Эти проблемы соответственно решены с помощью кон-
цендентальной логике», и (2) в силу его четкого раз-
цепции интуиции как источника знания, концепции о
личения (я должен сказать, что это четкое различение
несостоятельно) между интуитивным и дискурсивным
1 том, что мы можем интуитивно видеть математически е
• объекты, которые конструируем, и концепции о том, мышлением. Распространена точка зрения, что кантов-
что математическое доказательство является последо-
ское исключение дискурсивных аргументов из геометрии
. нательным конструированием или построением конст-
и арифметики — не просто пробел, а противоречие.
рукций.
То, что это не соответствует действительности, было
(2) Онтологические проблемыо природе математи-
показано Брауэром, который заполнил данный пробел.
ческих объектов и способе их существования. Эти про-
Я имею в виду теорию Брауэра об отношении между
блемы были решены Брауэром посредством выдвиже-
математикой, с одной стороны, и языком и логикой—