Чтение онлайн

ЖАНРЫ

Логика и рост научного знания
Шрифт:

сты могут не соглашаться между собой по некоторым

с их лингвистическим формулированием, Брауэр был

трудным вопросам24. Для нас нет необходимости иссле-

прав тогда, когда активно выступал против идеи рас-

довать, какая сторона в этом споре права. Достаточно

сматривать математику лишькак формальную языко-

указать, что раз интуиционистское конструирование

вую игру, или, другими словами, считать, что не суще-

подвергается критике, то рассматриваемая

проблема

ствует таких вещей, как внелингвистические математи-

может быть решена лишь путем существенного исполь-

ческие объекты, то есть мысли (или, более точно, с

зования аргументативной функции языка.Конечно, кри-

моей точки зрения, содержание мышления). Он настаи-

тическое использование языка, по существу, не предпи-

вал на том, что беседа на математические темы являет-

сывает нам использовать аргументы, запрещенные ин-

ся беседой обэтих объектах, и в этом смысле матема-

туиционистской математикой (хотя и здесь существует

тический язык выступает вторичным образованием по

проблема, как будет показано ниже). Моя точка зре-

отношению к этим объектам. Однако это вовсе не озна-

ния в данный момент заключается просто в следую-

чает, что мы можем конструировать математику без

щем: раз допустимость предложенного интуиционизмом

языка: не может быть никакого конструирования без

математического конструирования может быть подверг-

постоянного критического контроля и никакой критики

нута сомнению, и, конечно, оно действительно подвер-

без выражения наших конструктов в лингвистической

гается сомнению, то язык выступает более чем просто

форме и обращения с ними как с объектами третьего

средством коммуникации, без которого можно в прин-

мира. Хотя третий мир не идентичен миру лингвистиче-

ципе обойтись: он является необходимым средством

ских форм, он возникает вместе с аргументативной

критического обсуждения, дискуссии. Соответственно

функцией языка, то есть является побочным продуктом

этому он не представляет собой только интуиционист-

языка. Это объясняет, почему, раз наши конструкции

ской конструкции, «которая объективна в том смысле, делаются проблематичными, систематизированными и

что она не связана с тем субъектом, который ее со-

аксиоматизированными, язык может сделаться также

здает» [34, с. 173]. На самом деле объективность даже

проблематичным и почему формализация может сде-

интуиционистской математики опирается, как это про-

латься отраслью математического конструирования.

исходит во всех науках, на критикуемость ее аргумен-

Именно это, я думаю, имеет в виду Майхилл, когда он

говорит, что «наши формализации исправляют

наши ин-

туиции, в то время как наши интуиции формируют на-

23 См. соответствующее замечание о кантовском априористском

ши формализации»[37, с. 175] (курсив мой). То, что

взгляде на ньютоновскую физику в [44, гл. 2, абзац, к которому Д°"

делает это высказывание заслуживающим цитирования, бавлено прим. 63].

состоит в том, что оно, будучи сделанным в связи с

24 См. комментарии С. К. Клини в [32, с. 239—253] о Брауэре

[9, с. 357—358].

брауэровской концепцией интуиционистского доказа-

476

477

тельства, в действительности помогает исправлению

.-.лее непосредственными интуитивными конструкциями

брауэровской эпистемологии.

„-(взаимодействие, разрушающее, между прочим, тот

(2') Онтологические проблемы.То, что объекты ма-

:/--идеал абсолютной очевидной достоверности, которого, тематики обязаны своим существованием отчасти язы-

как предполагалось, достигает интуитивное конструиро-

ку, иногда понималось самим Брауэром. Так, он писал

вание). Можно процитировать начало того отрывка из

в 1924 году: «Математика основывается («Der Mathe-

– его работы, который не только стимулировал меня на

matik liegt zugrunde») на бесконечной последователь-

дальнейшие исследования, по и поддержал мои'размыш-

ности знаков или символов («Zeichen») или на конечной

ления: «Понятие интуитивнойясности в математике са-

последовательности символов...» [6, с. 244]. Это не

мо не является интуитивно ясным. Можно даже по-

следует понимать как допущение приоритета языка: строить нисходящую шкалу степеней очевидности. Выс-

без сомнения, ключевым термином здесь является «по-

шую степень имеют такие утверждения, как 2+2 = 4.

следовательность», а понятие последовательности осно-

Однако 1002+2= 1004 имеет более низкую степень; мы

вывается на интуиции времени и на конструировании, доказываем это утверждение не фактическим подсче-

опирающемся на эту интуицию. Однако это утвержде-

том, а с помощью рассуждения, показывающего, что

ние показывает, что Брауэр знал о том, что для осуще-

вообще (п+2) +2 = п+4... [Высказывания подобно это-

ствления конструирования требуются знаки и символы.

му] уже имеют характер импликации: «Если построе-

Моя точка зрения состоит в том, что дискурсивное мыш-

но натуральное число п,то можно осуществить кон-

ление (то есть последовательность аргументов, выра-

струкцию, выражаемую равенством (n-f-2)+2 = n-f-4»

Поделиться с друзьями: