Логика и рост научного знания
Шрифт:
сты могут не соглашаться между собой по некоторым
с их лингвистическим формулированием, Брауэр был
трудным вопросам24. Для нас нет необходимости иссле-
прав тогда, когда активно выступал против идеи рас-
довать, какая сторона в этом споре права. Достаточно
сматривать математику лишькак формальную языко-
указать, что раз интуиционистское конструирование
вую игру, или, другими словами, считать, что не суще-
подвергается критике, то рассматриваемая
ствует таких вещей, как внелингвистические математи-
может быть решена лишь путем существенного исполь-
ческие объекты, то есть мысли (или, более точно, с
зования аргументативной функции языка.Конечно, кри-
моей точки зрения, содержание мышления). Он настаи-
тическое использование языка, по существу, не предпи-
вал на том, что беседа на математические темы являет-
сывает нам использовать аргументы, запрещенные ин-
ся беседой обэтих объектах, и в этом смысле матема-
туиционистской математикой (хотя и здесь существует
тический язык выступает вторичным образованием по
проблема, как будет показано ниже). Моя точка зре-
отношению к этим объектам. Однако это вовсе не озна-
ния в данный момент заключается просто в следую-
чает, что мы можем конструировать математику без
щем: раз допустимость предложенного интуиционизмом
языка: не может быть никакого конструирования без
математического конструирования может быть подверг-
постоянного критического контроля и никакой критики
нута сомнению, и, конечно, оно действительно подвер-
без выражения наших конструктов в лингвистической
гается сомнению, то язык выступает более чем просто
форме и обращения с ними как с объектами третьего
средством коммуникации, без которого можно в прин-
мира. Хотя третий мир не идентичен миру лингвистиче-
ципе обойтись: он является необходимым средством
ских форм, он возникает вместе с аргументативной
критического обсуждения, дискуссии. Соответственно
функцией языка, то есть является побочным продуктом
этому он не представляет собой только интуиционист-
языка. Это объясняет, почему, раз наши конструкции
ской конструкции, «которая объективна в том смысле, делаются проблематичными, систематизированными и
что она не связана с тем субъектом, который ее со-
аксиоматизированными, язык может сделаться также
здает» [34, с. 173]. На самом деле объективность даже
проблематичным и почему формализация может сде-
интуиционистской математики опирается, как это про-
латься отраслью математического конструирования.
исходит во всех науках, на критикуемость ее аргумен-
Именно это, я думаю, имеет в виду Майхилл, когда он
говорит, что «наши формализации исправляют наши ин-
туиции, в то время как наши интуиции формируют на-
23 См. соответствующее замечание о кантовском априористском
ши формализации»[37, с. 175] (курсив мой). То, что
взгляде на ньютоновскую физику в [44, гл. 2, абзац, к которому Д°"
делает это высказывание заслуживающим цитирования, бавлено прим. 63].
состоит в том, что оно, будучи сделанным в связи с
24 См. комментарии С. К. Клини в [32, с. 239—253] о Брауэре
[9, с. 357—358].
брауэровской концепцией интуиционистского доказа-
476
477
тельства, в действительности помогает исправлению
.-.лее непосредственными интуитивными конструкциями
брауэровской эпистемологии.
„-(взаимодействие, разрушающее, между прочим, тот
(2') Онтологические проблемы.То, что объекты ма-
:/--идеал абсолютной очевидной достоверности, которого, тематики обязаны своим существованием отчасти язы-
как предполагалось, достигает интуитивное конструиро-
ку, иногда понималось самим Брауэром. Так, он писал
вание). Можно процитировать начало того отрывка из
в 1924 году: «Математика основывается («Der Mathe-
– его работы, который не только стимулировал меня на
matik liegt zugrunde») на бесконечной последователь-
дальнейшие исследования, по и поддержал мои'размыш-
ности знаков или символов («Zeichen») или на конечной
ления: «Понятие интуитивнойясности в математике са-
последовательности символов...» [6, с. 244]. Это не
мо не является интуитивно ясным. Можно даже по-
следует понимать как допущение приоритета языка: строить нисходящую шкалу степеней очевидности. Выс-
без сомнения, ключевым термином здесь является «по-
шую степень имеют такие утверждения, как 2+2 = 4.
следовательность», а понятие последовательности осно-
Однако 1002+2= 1004 имеет более низкую степень; мы
вывается на интуиции времени и на конструировании, доказываем это утверждение не фактическим подсче-
опирающемся на эту интуицию. Однако это утвержде-
том, а с помощью рассуждения, показывающего, что
ние показывает, что Брауэр знал о том, что для осуще-
вообще (п+2) +2 = п+4... [Высказывания подобно это-
ствления конструирования требуются знаки и символы.
му] уже имеют характер импликации: «Если построе-
Моя точка зрения состоит в том, что дискурсивное мыш-
но натуральное число п,то можно осуществить кон-
ление (то есть последовательность аргументов, выра-
струкцию, выражаемую равенством (n-f-2)+2 = n-f-4»