Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
dV
1
.
k
1
d
k
2
d
(14)
Если углы, которые линии тока в первой и во второй средах составляют с нормалью к поверхности раздела, равны соответственно 1 и 2, то касательные к этим линиям тока лежат по обе стороны от границы раздела в одной плоскости с нормалью и
k
1
tg
1
=
k
2
tg
2
.
(15)
Это
311. В качестве примера условий, которые должны быть выполнены, когда электричество пересекает границу раздела двух сред, рассмотрим сферическую поверхность радиуса a, при этом внутри сферы удельное сопротивление равно k1 а снаружи k2.
Разложим потенциал как внутри, так и вне поверхности по пространственным гармоникам и пусть слагаемые, которые зависят от поверхностной гармоники Si равны
V
1
=
(
A
1
r
i
+
B
1
r
– (i+1)
)
S
i
,
(1)
V
2
=
(
A
2
r
i
+
B
2
r
– (i+1)
)
S
i
,
(2)
соответственно внутри и вне сферы.
На поверхности раздела, где r=a, мы должны иметь
V
1
=
V
2
и
1
dV
1
=
1
dV
1
.
k
1
dr
k
2
dr
(3)
Из этих условий мы получаем уравнения
(A
1
– A
2
)
a
2i+1
+
B
1
– B
2
=
0,
1
k1
A
1
–
1
k2
A
2
ia
2i+1
–
1
k1
B
1
–
1
k2
B
2
(i+1)
=
0.
(4)
Эти уравнения, если мы знаем две из четырёх величин A1, A2, B1, B2, достаточны для определения двух других величин.
Предположим, что A1 и B1 известны, тогда для A2 и B2 мы получим следующие выражения:
A
2
=
{k
1
(i+1)+k
2
}A
1
+
(k
1
– k
2
)
(i+1)
B
1
a
– (2k+1)
,
k
1
(2i+1)
B
2
=
(k
1
– k
2
)
iA
1
a
2k+1
+
{k
1
i+k
2
(i+1)}B
1
.
k
1
(2i+1)
(5)
Таким
путём мы можем найти условия, которым должен удовлетворять каждый член разложения потенциала по гармоникам для случая любого числа слоёв, ограниченных концентрическими сферическими поверхностями.312. Пусть радиус первой сферической поверхности равен a1 и пусть имеется вторая сферическая поверхность большего радиуса a2, вне которой удельное сопротивление равно k3. Если внутри этих сфер отсутствуют источники или стоки электричества, потенциал V не принимает бесконечных значений, и мы имеем B1=0.
Тогда для A3 и B3, коэффициентов во внешней среде, мы находим
A
3
k
1
k
2
(2i+1)^2
=
{k
1
(i+1)+k
2
i}
{k
2
(i+1)+k
3
i}
+
+
i(i+1)
(k
1
– k
2
)
(k
2
– k
3
)
a1
a2
2i+1
A
1
,
B
3
k
1
k
2
(2i+1)^2
=
i(k
2
– k
3
)
{k
1
(i+1)+k
2
i}
a
2
2i+1
+
+
i(k
1
– k
2
)
{k
2
i+k
3
(i+1)}
a
1
2i+1
A
1
.
(6)
Значение потенциала во внешней среде частично зависит от внешних источников электричества, которые производят токи независимо от наличия сферы с неоднородным заполнением, а частично от возмущения, вызванного введением неоднородной сферы.